哈特格斯數
在數學特別是公理化集合論中,哈特格斯數(Hartogs number)是一類特殊的基數。它由弗里德里希·哈特格斯(Friedrich Hartogs)在1915年從策梅洛-弗蘭克爾集合論中單獨導出(沒有使用選擇公理),用於證明對任意給定的良序集,至少有一個良序集的基數大於它。
然而,要構造哈特格斯數其實並不需要從良序集出發:對任意集合,與之對應的哈特格斯數是不與的任何子集等勢的最小序數。如果並非良序的話,我們其實不能說一定是勢大於的最小良序集;但是,我們仍然可以確定的勢至少不小於——或者說大於等於——的勢。從到的映射,被稱作哈特格斯函數(Hartogs's function)。
證明
由集合論的一些基本定理可以很容易證明哈特格斯數的存在:
令
為所有滿足「存在從該序數 到集合 的單射」的序數 組成的類。
首先,我們來證明 是集合:
接下來,由於序數的傳遞集也是序數,因此 是序數。更進一步地,不存在從 到 的單射——否則就會導致 的矛盾(因為 是序數,這也就是說 )。最後, 也是滿足這一性質的最小序數,否則,如果有一序數 ,那麼 ,也就是說 。
而不存在 到 的單射也就意味着 與 的任意子集都不等勢。
歷史評價
值得一提的是,在1915年,哈特格斯能夠使用的數學工具中既不包括馮·諾伊曼序數也不包括替換公理,因此他的結論是單純建立在策梅洛集合論上的,導致其與現今的闡述有很大的不同。相反地,他當時考慮的是 的良序子集的同構類的集合,以及這一集合上「 若且唯若 同構於 的真前段」的關係。哈特格斯證明了存在一個良序集大於 的任意良序子集。(這是歷史上第一次真正構造出不可數良序集。)然而,他的真正目的其實是證明基數三分法可以推出(十一年前被提出的)良基定理(進一步則等價於選擇公理)。
參見
參考文獻
- Hartogs number. [2019-05-20]. (原始內容存檔於2017-02-01).
- 郝兆寬 楊躍. 集合论:对无穷概念的探索. 復旦大學出版社. 2015-09. ISBN 9787309107104 (中文).