四次方程

四次方程,是未知數最高次數不超過四次的多項式方程。一個典型的一元四次方程的通式為:

的圖形
其中

本篇只討論一元四次方程,並簡稱為四次方程。

四次方程的解法

數學家們為了解開四次方程——確切地說,找到解開四次方程的方法——做出了許多努力。像其它多項式一樣,有時可以對四次方程進行因式分解;但高次冪下的因式分解往往非常困難,尤其是當根是無理數或複數時。因此找到一個公式解(就像二次方程的求根公式那樣, 能解所有的一元二次方程)意義重大。經過諸多研究後,數學家們終於找到了四次方程的公式解。不過之後埃瓦里斯特·伽羅瓦證明,求根公式止步於四次方程,更高次冪的方程無法通過固定的公式求出。對於五次及以上的方程,需要一種更為有效的方式來求解。

由於四次方程的複雜性(參見下文),求解公式並不常用。如果只要求求解有理實根,可以使用試錯法,該方法對於任意次數的多項式求解都有效。或是使用魯菲尼法則求出,前提是所給的多項式的系數都是有理的。利用計算機編程,通過牛頓法等數值方法,可以輕易得到任意次方程的實數(數值)解。

特殊情況

名義上的四次方程

如果 ,那麼其中一個根為 ,其它根可以通過消去四次項,並解產生的三次方程,

 

雙二次方程

四次方程式中若   均為  者有下列形態:

 

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設   ,我們的方程式便成為:

 

這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:

 

當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到  的值:

 
 
 
 

若任何一個   的值為負數或複數,那麼一些   的值便是複數。

費拉里的方法

開始時,四次方程首先要被轉化為低級的四次方程式。

轉變成減少次數的四次方程

要讓以下四次方程式變成標準的四次方程式,先在等式兩邊分別除以 

 
 

第一步:消除  列。為了做到這一步,先把變量 變成 ,其中

 .

將變量替換: 

展開後變成: 

整理後變成以u為變量的表達式

 

現在改變表達式的系數,為

 
 
 

結果就是我們期望值的低級四次方程式,為

 

如果   那麼等式就變成了雙二次方程式,更加容易解決(解釋上面);利用反向替代,我們可以獲得我們要解決的變量  的值.

費拉里的解法

這種降低的四次方程的方法是被費拉里發現的,然而,這種方式曾經被發現過。接下來,利用一個恆等式

 

從方程 (1)和上式,得出:

 

結果把  配成了完全平方式: 。左式中,  並不出現,但其符號已改變並被移到右邊。

下一步是在方程  左邊的完全平方中插入變量  ,相應地在右邊插入一項 。根據恆等式

 

 兩式相加,可得
  的插入)

與等式(2)相加,得

 

也就是

 

現在我們需要尋找一個 值,使得方程 的右邊為完全平方。而這只要令二次方程的判別式為零。為此,首先展開完全平方式為二次式:

 

右邊的二次式有三個系數。可以驗證,把第二項系數平方,再減去第一與第三項系數之積的四倍,可得到零:

 

因此,為了使方程(3)的右邊為完全平方,我們必須解出下列方程:

 

把二項式與多項式相乘,

 兩邊除以 ,再把 移動到右邊,
 

這是關於 三次方程。兩邊除以 

 

轉化嵌套的三次方程為降低次數的三次方程

方程 是嵌套的三次方程。為了解方程 ,我們首先用換元法把它轉化為減少次數的三次方程:

 

方程 變為

 

展開,得

 

合併同類項,得

 

這是嵌套的三次方程。

 
 

則此三次方程變為

 

解嵌套的降低次數的三次方程

方程 的解(三個解中任何一個都可以)為

 
(由三次方程
 

則原來的嵌套三次方程的解為

 
注意   
注意   

配成完全平方項

 的值已由 式給定,現在知道等式 的右邊是完全平方的形式

 
這對於平方根的正負號均成立,只要等式兩邊取相同的符號。 的正負是多餘的,因為它將被本頁後面馬上將提到的另一個 消去。

從而它可分解因式為:

 .
註:若   。如果  則方程為雙二次方程,前面已討論過。

因此方程 化為

 .

等式 兩邊各有一個乘起來的完全平方式。兩完全平方式相等。

如果兩平方式相等,則兩平方式的因子也相等,即有下式:

 .

 合併同類項,得

 .
註:   中的下標  用來標記它們是相關的。

方程 是關於 二次方程。其解為

 

化簡,得

 

這就是降低次數的四次方程的解,因此原來的四次方程的解為

 
注意:兩個   來自等式 的同一處,並且它們應有相同的符號,而   的符號是無關的。

費拉里方法的概要

給定一個四次方程

 

其解可用如下方法求出:

 
 
 
 ,求解   並代入  ,求得根
 .
 
 
 (平方根任一正負號均可)
 (有三個複根,任一個均可)
 
 
兩個  必須有相同的符號,  的符號無關。為得到全部的根,對   , , ,     來求 。二重根將得出兩次,三重根及四重根將得出四次(儘管有 ,是一種特殊的情況)。方程根的次序取決於立方根  的選取。(見對 相對 的注)

此即所求。

還有解四次方程的其他方法,或許更好些。費拉里首先發現這些迷宮般的解之一。他所解的方程是

 

它已經化為簡約的形式。它有一對解,可由上面給出的公式得到。

笛卡爾方法

 

此四次方程是下列兩個二次方程之積:

 

以及

 

由於

 

因此

 

 
 

則方程  變為

 

同時有(未知的)變量  使方程  變為

 

方程   相乘,得

 

把方程  與原來的二次方程比較,可知

 
 
 

 

因此

 
 

方程 的解為

 
 

這兩個解中的一個應是所求的實解。

歐拉的方法

寫出式子  ,令  , 把上式改寫為  , 再利用系數   造出另一式子:  , 求出   的三根,並用   代表它們。 那麼   的四個根就是        

合併來看 二次方程根的樣式為   ,其中   三次方程根的樣式為   ,其中   四次方程根的樣式為   ,其中   延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。

其它方法

化為雙二次方程

一個例子可見雙二次方程

埃瓦里斯特·伽羅瓦的理論和因式分解

求根公式

四次方程的求根公式可以通過上述的伽羅瓦理論和因式分解得到。[1]對於 ,有:[2]

 

 

 

 

 [來源請求]

PlanetMath指出,這四個形式直接使用,即使是在計算機上也過於複雜。[2]這四個解的推導過程的最後幾步有較為簡單的中間形式可以採用。得到這些解需要用到三次方程的求根公式。[1]

參見

文獻

  1. ^ 1.0 1.1 The Quartic Formula Derivation. [2021-07-14]. (原始內容存檔於2021-07-14). 
    Galois-theoretic derivation of the quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. (原始內容存檔於2021-01-18). 
  2. ^ 2.0 2.1 quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. (原始內容存檔於2021-04-11).