前六個（概率論中的）海曼多項式的圖像。 海曼多項式有兩種常見定義。
第一種是概率論 中較為常用的形式（記作：
H
n
p
r
o
b
(
x
)
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)}
H
n
p
r
o
b
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
/
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}
另一種是物理學 中較為常用的形式（記作：
H
n
p
h
y
s
(
x
)
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)}
H
n
p
h
y
s
(
x
)
=
(
−
1
)
n
e
x
2
d
n
d
x
n
e
−
x
2
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}
物理學捨棄了常系數0.5，兩定義之間的關係是：
H
n
p
h
y
s
(
x
)
=
2
n
/
2
H
n
p
r
o
b
(
2
x
)
.
{\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x).\,\!}
概率論中常用第一種定義，因為
e
−
x
2
/
2
2
π
{\displaystyle {\frac {e^{-x^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}}
正態分佈 函數（數學期望值 等於0，標準差 等於1）的概率密度函數 。
前六個（物理學中的）海曼多項式的圖像。
前六個概率學和物理學中的海曼多項式
序號
概率學
物理學
H
0
(
x
)
{\displaystyle H_{0}(x)}
1
{\displaystyle 1\,}
1
{\displaystyle 1\,}
H
1
(
x
)
{\displaystyle H_{1}(x)}
x
{\displaystyle x\,}
2
x
{\displaystyle 2x\,}
H
2
(
x
)
{\displaystyle H_{2}(x)}
x
2
−
1
{\displaystyle x^{2}-1\,}
4
x
2
−
2
{\displaystyle 4x^{2}-2\,}
H
3
(
x
)
{\displaystyle H_{3}(x)}
x
3
−
3
x
{\displaystyle x^{3}-3x\,}
8
x
3
−
12
x
{\displaystyle 8x^{3}-12x\,}
H
4
(
x
)
{\displaystyle H_{4}(x)}
x
4
−
6
x
2
+
3
{\displaystyle x^{4}-6x^{2}+3\,}
16
x
4
−
48
x
2
+
12
{\displaystyle 16x^{4}-48x^{2}+12\,}
H
5
(
x
)
{\displaystyle H_{5}(x)}
x
5
−
10
x
3
+
15
x
{\displaystyle x^{5}-10x^{3}+15x\,}
32
x
5
−
160
x
3
+
120
x
{\displaystyle 32x^{5}-160x^{3}+120x\,}
多項式Hn 是一個n 次的多項式。概率論的海曼多項式是首一多項式（最高次項系數等於1），而物理學的海曼多項式的最高次項系數等於2n
多項式Hn 的次數與序號n 相同，所以不同的海曼多項式的次數不一樣。對於給定的權函數 w ，海曼多項式的序列將會是正交序列。
w
(
x
)
=
e
−
x
2
/
2
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\!}
w
(
x
)
=
e
−
x
2
{\displaystyle w(x)=\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\!}
也就是說，當m ≠ n 時：
∫
−
∞
∞
H
m
(
x
)
H
n
(
x
)
w
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,\mathrm {d} x=0}
除此之外，還有：
∫
−
∞
∞
H
m
p
r
o
b
(
x
)
H
n
p
r
o
b
(
x
)
e
−
x
2
/
2
d
x
=
n
!
2
π
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {prob} }(x)H_{n}^{\mathrm {prob} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}/2}\,\mathrm {d} x=n!\,{\sqrt {2\pi }}\delta _{mn}}
∫
−
∞
∞
H
m
p
h
y
s
(
x
)
H
n
p
h
y
s
(
x
)
e
−
x
2
d
x
=
n
!
2
n
π
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}^{\mathrm {phys} }(x)H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)\,\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x=n!\,2^{n}{\sqrt {\pi }}\delta _{mn}}
其中
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
克羅內克函數 。
從上式可以看到，概率論中的海曼多項式與標準正態分佈正交。
在所有滿足
∫
−
∞
∞
|
f
(
x
)
|
2
w
(
x
)
d
x
<
∞
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,w(x)\,\mathrm {d} x<\infty }
的函數所構成的完備空間 中，海曼多項式序列構成一組基 。其中的內積 定義如下：
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
¯
w
(
x
)
d
x
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,\mathrm {d} x}
概率論 中的海曼多項式是以下微分方程的解:
(
e
−
x
2
/
2
u
′
)
′
+
λ
e
−
x
2
/
2
u
=
0
{\displaystyle (e^{-x^{2}/2}u')'+\lambda e^{-x^{2}/2}u=0}
方程的邊界條件為：
u
{\displaystyle u}
其中
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
λ
{\displaystyle \lambda }
H
λ
p
r
o
b
(
x
)
{\displaystyle H_{\lambda }^{prob}(x)}
而物理學 中的海曼多項式則是以下微分方程的解:
u
″
−
2
x
u
′
+
2
λ
u
=
0
{\displaystyle u''-2xu'+2\lambda u=0}
其本徵值同樣為
λ
{\displaystyle \lambda }
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
H
λ
p
h
y
s
(
x
)
{\displaystyle H_{\lambda }^{phys}(x)}
以上兩個微分方程都稱為海曼方程 。
Arfken, Mathematical Methods for Physicists
B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics , Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering , Wiley, Chapter 4.
Courant, Richard; Hilbert, David, Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience, 1953 Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G., Higher transcendental functions. Vol. II, McGraw-Hill, 1955 Fedoryuk, M.V., H/h046980 , Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Szegő, Gábor, Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939, 1955 Wiener, Norbert, The Fourier Integral and Certain of its Applications, New York: Dover Publications, 1958, ISBN 0-486-60272-9 Whittaker, E. T.; Watson, G. N. A Course of Modern Analysis 4th Edition. London: Cambridge University Press. 1962. Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics , Wiley, New York, 1996
