塞爾譜序列

數學中,塞爾譜序列Serre spectral sequence),有時為了紀念讓·勒雷早先的工作稱為勒雷-塞爾譜序列Leray-Serre spectral sequence),是代數拓撲學中的基本工具。它用同調代數的語言將一個(塞爾)纖維化的全空間 E奇異(上)同調表示為底空間 B 和纖維 F 的(上)同調。此結論屬於讓-皮埃爾·塞爾的博士論文。

表述

  是拓撲空間的一個塞爾纖維化,F 是其纖維。結論用譜序列和標準記號表示。在沒有簡化假設時,記號必須正確地理解。

上同調譜序列

塞爾上同調譜序列為:

E2pq = Hp(B, Hq(F))   Hp+q(E).

這裏,至少在標準簡化條件下,E2-項中的係數群是 F 的第 q整上同調群,外面的群是 B 的係數取值於這個群的奇異上同調

嚴格地說,這表示關於 B 上由不同的纖維的上同調給出的局部係數系統的上同調。如果假設,B單連通,便退化為通常的上同調。對一個道路連通底空間,所有不同的纖維是同倫等價的。特別的,它們的同調是同構的,所以纖維的選取沒有歧義。

收斂項表示整個空間的整上同調。

其中有乘法結構

 

E2-項上與 qs-倍上積重合,且關於乘法結構,dr(分次)導子,由 Er-頁的乘法結構誘導了 Er-頁的乘法結構。

同調譜序列

類似於上同調譜序列,有同調譜序列:

E2pq = Hp(B, Hq(F))   Hp+q(E),

這裏的記號與上一節對偶。

這事實上是更一般的單純集的纖維化的塞爾譜序列的一個特例。如果 f 是一個單純集的纖維化(一個闞纖維化Kan fibration英語Kan fibration)),使得  ,單純集 B 的第一同倫群,消失,則有正好和上面一樣的譜序列。(利用將任何拓撲空間的單純形相伴為一個拓撲空間的纖維化的函子,我們得到上面的序列)。

參考文獻

塞爾譜序列包含於代數拓撲學的一般教材中,例如:

單純集情形可參見:

  • P. Goerss, R. Jardine, Simplicial homotopy theory, Birkhäuser