外積 (張量積)

外積(英語:outer product),在線性代數中一般指兩個向量張量積,其結果為一矩陣;與外積相對,兩向量的內積結果為純量

外積也可視作是矩陣的克羅內克積的一種特例。注意到:一些作者將「張量的外積」作為張量積的同義詞。

矩陣乘法定義

向量的外積是矩陣的克羅內克積的特殊情況。

給定  列向量   行向量 ,它們的外積 被定義為 矩陣 ,結果出自

 

這裏的張量積就是向量的乘法。

使用坐標:

 

對於複數向量,習慣使用 複共軛(指示為 ),因為人們把行向量認為是對偶空間複共軛向量空間的元素:

 

如果 是列向量,定義變為:

 

這裏的  共軛轉置

相對於外積

如果 是列向量,而且m = n,則可以採用其他方式的積,生成一個純量(或 矩陣):

 

它是歐幾里得空間的標準內積,常叫做點積

抽象定義

給定向量 余向量 ,張量積 給出映射 ,在同構 之下。

具體的說,給定 

 

這裏的  w上的求值,它生成一個純量,接着乘v

可作為替代,它是  的複合。

如果 ,則還可以配對 ,這是內積

參見