多重排列與多重全排列

多重排列與多重全排列是組合數學中的常見的兩個排列模型，具有廣泛的應用場景。儘管多重排列與多重全排列僅有一字之差，但是具有完全不同的實際意義。

定義

多重排列定義

設多重集的幾何大小為 $n$ ，取其中的 $m$ 個數進行排列，即為多重排列。設多重集內元素細節為 $r_{1}$ 個 $x_{1}$ ， $r_{2}$ 個 $x_{2}$ ，...， $r_{k}$ 個 $x_{k}$ ，則可記為 $P(m;r_{1}+r_{2}+...+r_{k}=n)$ .

多重全排列定義

有 $r_{1}$ 個 $x_{1}$ ， $r_{2}$ 個 $x_{2}$ ，...， $r_{k}$ 個 $x_{k}$ 個數，其中 $r_{1}+r_{2}+...+r_{k}=n$ ，對這樣的 $n$ 個數所求的排列，即為多重全排列，記為 $P(n;r_{1},r_{2},...,r_{k})$ 或 ${\binom {n}{r_{1}\quad r_{2}\quad ...\quad r_{k}}}$ 。

計算方法

多重排列計算方法

枚舉法：小範圍的多重排列採用分類枚舉方法即可得出正確結果。

多重全排列計算方法

$P(n;r_{1},r_{2},...,r_{k})\centerdot r_{1}!\centerdot r_{2}!\centerdot ...\centerdot r_{k}!=n!$

$\Longrightarrow P(n;r_{1},r_{2},...,r_{k})={\frac {n!}{r_{1}!\centerdot r_{2}!\centerdot ...\centerdot r_{k}!}}$

即 ${\binom {n}{r_{1}\quad r_{2}\quad ...\quad r_{k}}}={\frac {n!}{r_{1}!\centerdot r_{2}!\centerdot ...\centerdot r_{k}!}}$

舉例

舉例：多重排列

某校舉辦運動會，計算機系派出代表人數分佈如下：人智所有3個人報名，高性能所有2個人報名，軟件所有4名同學報名（ps:認為同一所的同學無差別，僅代表研究所內一個成員），共有8個完全不同的個人單項項目，計算機系需要選擇其中的8個人代表院系參加比賽（每人必須參加一項，且不能超過一項），報名的三個所至少每個所獲得一個參賽名額，問共有多少種排列方案？

解：

大類一： ${\tfrac {8!}{3!\centerdot 1!\centerdot 4!}}=280$