尤爾卡特-里歇特定理

尤爾卡特-里歇特定理(Jurkat–Richert theorem)是篩法上的數學定理,這定理是關於歌德巴赫猜想陳氏定理的關鍵部分。[1]:272這定理在1965年由沃爾夫岡·B·尤爾卡特(Wolfgang B. Jurkat)及漢斯-埃貢·里歇特英語Hans-Egon Richert所證明。[2]

定理陳述

以下公式表示取自哈羅德·G·戴蒙德(Harold G Diamond)與哈伯斯塔姆英語Heini Halberstam[3]:81其他的公式表示可見於尤爾卡特與里歇特、[2]:230哈伯斯塔姆與里歇特、[4]:231以及梅爾文·B·內桑森英語Melvyn B. Nathanson等人的結果。[1]:257

假定 是一個整數的有限序列,而 是質數集合,設  中可被 除盡的元素構成的集合,並設  中小於 的質數的乘積,然後再設 為一個使得 大致與 中可被 除盡的元素成比例的積性函數。然後  中元素的大致個數,則其餘項可表示如下:

 

  中與 彼此互質的元素的個數,則有下式:

 

再設  彼此相異的質因數的數量,並設  為滿足特定微分差分方程的方程式。(可參見戴蒙德與哈伯斯塔姆的書[3]:67–68以知其定義與性質)現在假定篩選密度的維度為一,也就是在存在常數 ,使得 的情況下,可得以下關係式:

 

(戴蒙德與哈伯斯塔姆的書[3]將此定理延伸到維度大於一的狀況)那麼尤爾卡特—里歇特定理就表示說對於任意滿足 的數  而言,有以下關係式:

 

 

註解

  1. ^ 1.0 1.1 Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer-Verlag. 1996 [2009-03-14]. ISBN 978-0-387-94656-6. Zbl 0859.11003. 
  2. ^ 2.0 2.1 Jurkat, W. B.; Richert, H.-E. An improvement of Selberg's sieve method I (PDF). Acta Arithmetica. 1965, XI: 217–240 [2009-02-17]. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902. (原始內容存檔 (PDF)於2023-05-08). 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini. A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions. Cambridge Tracts in Mathematics 177. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 978-0-521-89487-6. Zbl 1207.11099. 
  4. ^ Halberstam, Heini; Richert, H.-E. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London: Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6. MR 0424730. Zbl 0298.10026.