平方數

數學上，平方數，或稱完全平方數，是指可以寫成某個整數的平方的數，即其平方根為整數的數。例如，9 = 3 × 3，它是一個平方數。

平方數也稱正方形數，若 n 為平方數，將 n 個點排成矩形，可以排成一個正方形。

若將平方數概念擴展到有理數，則兩個平方數的比仍然是平方數，例如， (2 × 2) / (3 × 3) = 4/9 = 2/3 × 2/3。

若一個整數沒有除了 1 之外的平方數為其因數，則稱其為無平方數因數的數。

前n個平方數

（OEIS數列A000290）：

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

50² = 2500

表達式

一個整數是完全平方數若且唯若相同數目的點能夠在平面上排成一個正方形的點陣，使得每行每列的點都一樣多。

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25

通項公式

對於一個整數 n，它的平方寫成 n²。n²等於頭 n 個正奇數的和（ $n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$ ）。在上圖中，從1開始，第 n 個平方數表示為前一個平方數加上第 n 個正奇數，如 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9。即第五個平方數25等於第四個平方數16加上第五個正奇數：9。

遞歸公式

每個平方數可以從之前的兩個平方數計算得到，遞推公式為 $n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$ 。例如，2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6²。

連續整數的和

平方數還可以表示成 n² = 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n − 1 + n − 1 + n。例如，4² = 16 = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4。可以將其解釋為在邊長為 3 的矩形上添加寬度為 1 的一行和一列，即得到邊長為 4 的矩形。這對於計算較大的數的平方數非常有用。例如， 52² = 50² + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704.

性質

一個平方數是兩個相鄰三角形數之和。兩個相鄰平方數之和為一個中心正方形數。所有的奇數平方數同時也是中心八邊形數。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}

四平方和定理說明所有正整數均可表示為最多四個平方數的和。特別的，三個平方數之和不能表示形如 4^k(8m + 7) 的數。若且唯若一個正整數可以表示因數中沒有形如 4k + 3 的素數的奇次方，則它可以表示成兩個平方數之和。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}

在十進制中，平方數只能以 1，4，6，9 或 00 25 結尾。

若一個數以 0 結尾，它的平方數以 0 結尾（除 0 外，其他數字的個位和十位數字都是 0 ），且00前面的數也是平方數（例如：0x0=0、10x10=100）
若一個數以 1 或 9 結尾，它的平方數以 1 結尾，且前面的兩位數字構成的兩位數能被 4 整除（例如：1x1=1、11x11=121；9x9=81、19x19=361）
若一個數以 2 或 8 結尾，它的平方數以 4 結尾，且前面的一位數字為偶數（例如：2x2=4、12x12=144；8x8=64、18x18=324）
若一個數以 3 或 7 結尾，它的平方數以 9 結尾，且前面的兩位數字構成的兩位數能被 4 整除（例如：3x3=9、13x13=169；7x7=49、17x17=289）
若一個數以 4 或 6 結尾，它的平方數以 6 結尾，且前面的一位數字為奇數（例如：4x4=16、14x14=196；6x6=36、16x16=256）
若一個數以 5 結尾，它的平方數以 25 結尾，且前面的一位或兩位數字必定為 0，2，06，56 之一，25前面的數是普洛尼克數（例如：5x5=25、15x15=225）

至於為什麼祇能以00、25結尾，可以將該數字除以100。可以發現，n.5若寫成分數形式，則為(2n+1)/2。設2n+1=p，則p與n互質。根據完全平方公式可得，( 2n/2 + 1/2 )^2=n^2 + 1 + 0.25。由於前面均為整數，所以最終結果小數部分必為.25。乘以100後，則最後兩位必為25。

在十二進制中，平方數的末位數必定是平方數（0, 1, 4或9）：^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}

若一個數同時是2和3的倍數（也就是為6的倍數），它的平方數以 0 結尾，且前面的一位數字為0或3。
若一個數既不是2的倍數也不是3的倍數（也就是與12互質），它的平方數以 1 結尾，且前面的一位數字為偶數。
若一個數是2的倍數但不是3的倍數，它的平方數以 4 結尾，且前面的一位數字除以4的餘數為0或1（也就是說，前一位數為0,1,4,5,8,9）。
若一個數不是2的倍數而是3的倍數，它的平方數以 9 結尾，且前面的一位數字為0或6。

每4個連續的自然數相乘加 1，必定會等於一個平方數，即 $n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^{2}+3n+1)^{2}=[n+(n+1)^{2}]^{2}$ 。^[1]^[2]^{[註 1]}

平方數必定不是完全數。^{[註 2]}
平方數必定是3的倍數或者3的倍數+1。
平方數必定是4的倍數或者4的倍數+1。
（以上兩者均包括 0 （ 0 倍））

0以外的平方數每一位數數字相加之和，不停重複地相加到剩一位數時必定是 1, 4, 9, 7 。^{[註 3]}

是否在相繼正方形數之間存在一個素數這一命題，對9000000以內的數目是正確的。^[3]
除了00以外，平方數末2位數若相同，必為44：如12²=144，38²=1444，62²=3844。
除了000以外，平方數末3位數若相同，必為444：如38²=1444，462²=213444。^[4]
除了0000以外，平方數末4位數不可能相同。
除了0以外，平方數不可能是普洛尼克數。^{[註 4]}。
除了0以外，平方數也不可能是連續若干個（至少兩個）數的積。
除了0，1，144以外，平方數不可能是費波那契數。^[5]

除了1跟4以外，平方數也不可能^{[來源請求]}是盧卡斯數。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
除了0，1，169以外，平方數不可能^{[來源請求]}是佩爾數。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
除了0，1，4，19600以外，平方數不可能是四面體數^[6]^[7]。
除了1跟4900以外，平方數不可能是四角錐數。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
平方數不可能是楔形數。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
平方數是模任何整數的二次剩餘；另外，如果某個整數是模任何整數的二次剩餘，那麼她一定是平方數。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
平方數的正因數總和(含自己)一定是奇數。^{[查證請求]}^{[來源請求]}^{[原創研究？]}
平方數的正因數個數是奇數。^[8]
當 $m\leq 300000$ 時，不定方程 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+......+m^{2}=\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\color {Red}{\frac {m(m+1)(2m+1)}{6}}=n^{2}}$ 的正整數解(m , n)只有(1 , 1)與(24 , 70)。

註釋

^ 更一般地，任何整數等差數列連續4項之乘積加上公差的4次方必為平方數，亦即a(a+d)(a+2d)(a+3d)+d⁴=(a²+3ad+d²)²。當公差d=1時，即為前述性質。
^ 因為完全數的正因數總和(含自己)必為偶數，但平方數的正因數總和必為奇數。
^ 亦即0以外的平方數必為9的倍數+1, 9的倍數+4, 9的倍數+9, 9的倍數+7 。
^ 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。

參考資料

^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A062938 (a(n)= n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 = (n^2 +3*n + 1)^2.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Sloane, N.J.A. (編). Sequence A028387. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ 《數論妙趣》267頁[美國]阿爾伯特-貝勒著談祥柏譯，上海教育出版社，ISBN 9787532054732。
^ Bernard Schott. Numbers m such that m^2 ends in 444.. 整數數列線上大全. 2019-10-31 [2023-05-27]. （原始內容存檔於2023-05-27）.
^ JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始內容存檔於2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.
^ D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, NY, 1986, 600.
^ D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p. 165 (Rev. ed. 1997).
^ 郭耀元. 探討完全平方數在數論領域中之研究 (PDF). 私立高英高級工商職業學校. （原始內容 (PDF)存檔於2018年1月6日）.

參看

平方
立方數：平方數在立體的推廣
四次方數：平方數在四維空間的推廣
五次方數：平方數在五維空間的推廣
三角形數
三角平方數：同時為三角形數和平方數的數
多邊形數

[3] 更一般地，任何整數等差數列連續4項之乘積加上公差的4次方必為平方數，亦即a(a+d)(a+2d)(a+3d)+d⁴=(a²+3ad+d²)²。當公差d=1時，即為前述性質。

[4] 因為完全數的正因數總和(含自己)必為偶數，但平方數的正因數總和必為奇數。

[5] 亦即0以外的平方數必為9的倍數+1, 9的倍數+4, 9的倍數+9, 9的倍數+7 。

[8] 因為n與(n+1)差1，所以兩數互質，故若n×(n+1)為平方數，則n與(n+1)也皆為平方數，2個平方數差1，則必為0與1，因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。

[1] Sloane, N.J.A. (編). Sequence A062938 (a(n)= n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1 = (n^2 +3*n + 1)^2.). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[2] Sloane, N.J.A. (編). Sequence A028387. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[6] 《數論妙趣》267頁[美國]阿爾伯特-貝勒著談祥柏譯，上海教育出版社，ISBN 9787532054732。

[7] Bernard Schott. Numbers m such that m^2 ends in 444.. 整數數列線上大全. 2019-10-31 [2023-05-27]. （原始內容存檔於2023-05-27）.

[9] JOHN H. E. COHN. 〈Square Fibonacci Numbers, Etc.〉. Bedford College, University of London, London, N.W.1. [2019-05-12]. （原始內容存檔於2012-06-30）. Theorem 3. If F_n = x², then n = 0, ±1, 2 or 12.

[10] D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, NY, 1986, 600.

[11] D. Wells, The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p. 165 (Rev. ed. 1997).

[12] 郭耀元. 探討完全平方數在數論領域中之研究 (PDF). 私立高英高級工商職業學校. （原始內容 (PDF)存檔於2018年1月6日）.

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[2]

[註 1]

[註 2]

[註 3]

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[註 4]

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