康托爾集

位于一条线段上的一些点的集合

在數學中,康托爾集Cantor set)由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入[1][2](但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯英語Henry John Stephen Smith在1875年發現[3][4][5][6]),是位於一條線段上的一些點的集合,具有許多顯著和深刻的性質。通過考慮這個集合,康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合,但是最常見的構造是康托爾三分點集,由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造,作為一個更加一般的想法——一個無處稠密完備集的例子。

一種像康托爾集圖案的柱頭。Jollois, Jean-Baptiste Prosper; Devilliers, Edouard, Description d'Egypte, Paris: Imprimerie Imperiale, 1809-1828  菲萊島雕塑

康托爾集的構造

康托爾集是由不斷去掉線段的中間三分之一的開集而得出。首先從區間 中去掉中間的三分之一 ,留下兩條線段: 。然後,把這兩條線段的中間三分之一都去掉,留下四條線段: 。康托爾集就是由所有過程中沒有被去掉的區間 中的點組成。這個過程可以由遞歸的方法描述,首先令:

 

則第 步遞歸得到的結果:

 , 對於 

所以:

     , 對於  .

下面的圖顯示了這個過程的最初六個步驟。

 

有些學術論文詳細描述了康托爾集的明確公式。[7][8]

參見

註釋

  1. ^ Georg Cantor (1883) "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten V" [On infinite, linear point-manifolds (sets)],Mathematische Annalen, vol. 21, pages 545–591.
  2. ^ H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science 2nd ed. (N.Y., N.Y.: Springer Verlag, 2004), page 65.
  3. ^ Henry J.S. Smith (1875) 「On the integration of discontinuous functions.」 Proceedings of the London Mathematical Society, Series 1, vol. 6, pages 140–153.
  4. ^ 「康托爾集」還由Paul du Bois-Reymond發現(1831–1889)。參見:Paul du Bois-Reymond (1880) 「Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung,」 Mathematische Annalen, vol. 16, pages 115–128的第128頁的腳註。「康托爾集」還由Vito Volterra在1881年發現(1860–1940)。參見:Vito Volterra (1881) 「Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate discontinue」 [Some observations on point-wise discontinuous functions],Giornale di Matematiche, vol. 19, pages 76–86.
  5. ^ José Ferreirós, Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics (Basel, Switzerland: Birkhäuser Verlag, 1999), pages 162–165.
  6. ^ Ian Stewart, Does God Play Dice?: The New Mathematics of Chaos
  7. ^ Mohsen Soltanifar, On A sequence of cantor Fractals, Rose Hulman Undergraduate Mathematics Journal, Vol 7, No 1, paper 9, 2006.
  8. ^ Mohsen Soltanifar, A Different Description of A Family of Middle-a Cantor Sets, American Journal of Undergraduate Research, Vol 5, No 2, pp 9–12, 2006.

參考文獻

外部連結