戴德金分割

戴德金分割(英語:Dedekind cut)是數學中對於全序集的操作。對於給定的全序集及其中某個元素而言,將分拆為兩個非空集合,使得兩者其一中所有元素(按照順序)均在之前、另一真子集中所有元素均在之後。

常見的是對於全體有理數的操作,即。對於有理數,將有理數集合分拆為兩個非空集合,若滿足條件:

  1. ,關係式必有且只有一個成立。
  2. ,必有,並且兩者在不同時取等號時均成立。

則稱這樣的分拆為有理數的一個戴德金分割,記為。其中集合稱為戴德金分割的下組,集合稱為戴德金分割的上組

分類

根據戴德金分割中  是否有最大數、最小數,可以將戴德金分割分為三種類型:

  1.  中有最大數, 中無最小數
  2.  中無最大數, 中有最小數
  3.  中無最大數, 中無最小數

可以證明,「 中有最大數, 中有最小數」的情況並不存在。證明如下:

如果 有最大數  有最小數 ,則根據分割的定義可知  。但是   顯然也是有理數,並且  ,因此   既不在   中, 也不在   中,這就與   是全體有理數矛盾。

第三種情況揭示了在有理數域中存在這樣的一種「空隙」(  之間的界數),這個「空隙」所對應的數既不屬於 ,也不屬於 ,因此它不是有理數,它所對應的數就是無理數,因此說第3種情況的戴德金分割定義了一個無理數

作為一個直觀的理解,我們可以把上面三種分化分別看成    ,而「 中有最大數、 中有最小數」的情況就是  ,中間的分割點d同時(不合法地)屬於兩邊集合。

例子

  1. 將所有小於或等於0的有理數劃分為集合 ,將所有餘下的有理數(即大於0的有理數)劃分為集合 ,則 是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第1種情形。
  2. 將所有小於0的有理數劃分為集合 ,將所有餘下的有理數(即大於或等於0的有理數)劃分為集合 ,則 是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第2種情形。
  3. 將所有小於或等於0、其平方小於或等於3的正有理數(即滿足 的數)劃分到集合 ,將餘下的有理數(即其平方大於3的正有理數)劃分到集合 ,則 是一個戴德金分割,並屬於上述分類中的第3種情形,此時戴德金分割 定義了無理數 

定義大小

假設無理數 由分劃 所確定,無理數 由分劃 所確定,則

  1. 集合  ,則稱無理數  相等,記為 
  2. 集合  ),則稱無理數 大於 ,記為 

無理數小於 )的概念可由大於 )的概念定義,即 當且僅當 。如此得到實數系的大小關係,其性質有:

  1. 任意實數 ,必有且只有下列關係式之一成立: 
  2. 遞移性:若實數 ,則 。對於小於 )的情形,遞移性同樣成立。

所以該大小關係是全序關係

參閱

參考文獻