定義
此節給出投射模的兩種等價定義。
自由模的直和項
投射模最直接的刻劃是一個自由模的直和項;換言之,一個模 是投射模,若且唯若存在另一個模 使得 是自由模。此時 是 的一個投影態射的項。
提昇性質
較容易操作也較符合範疇論思想的定義是利用提昇性質。模 是投射模,若且唯若對任何模滿射 及模態射 ,存在模態射 使得 (請留意:在此不要求唯一性)。用交換圖表現則更明瞭:
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此定義的優勢在於它可以推廣到阿貝爾範疇,從而引至投射對象的概念,在此並不需要考慮自由對象。反轉箭頭則得到對偶概念內射模。
另一種在探討Ext函子時特別有用的表述如下:模 是投射模,若且唯若任何正合序列
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都誘導出正合序列
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換言之, 是正合函子;實則對任何模 ,函子 總是左正合的,而投射性相當於右正合性。由此立刻得到投射模的同調刻劃: 是投射模若且唯若
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向量叢與局部自由模
投射模理論的想法之一是向量叢的類比,對於緊豪斯多夫空間上的實值連續函數環,或緊光滑流形上的光滑函數,此類比有嚴格的表述,詳閱條目Swan 定理。
向量叢是局部自由的;只要環上有合適的局部化概念,例如對環的一個積性子集局部化,則可以定義局部自由模。對於諾特環上的有限生成模,其投射性等價於局部自由性。對於非諾特環,則存有局部自由但非投射模的例子。
性質
- 投射模的直和與直和項仍是投射模。
- 若 ,則 是個投射左 -模。
- 投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的環稱作左繼承的。
- 一個環上的全體有限生成投射模構成一個正合範疇(亦見代數K-理論)。
- 域或除環上的向量空間是自由模,因而是投射模。使所有模為投射模的環稱為半單環。
- 將阿貝爾群視為 -模;則投射模對應於自由阿貝爾群。一般而言,此性質對主理想域也成立。
- 投射模皆為平坦模,反之不然,例如 是平坦 -模,但是非投射。
- 關於「局部自由=投射」的想法,Kaplansky 證出如下定理:局部環上的投射模皆為自由模。有限生成投射模的情形容易證明,一般情形則較困難。
塞爾問題
Quillen-Suslin定理是另一個深入的結果:它斷言若 是域或主理想域,而 是其上的多項式環,則任何投射 -模都是自由模。
此問題在域的情形由塞爾首先提出。Bass 解決了非有限生成模的情形,Quillen 與 Suslin 則同時而獨立地處理有限生成模的情形。
文獻
- Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X