給定流形
M
{\displaystyle M\,}
微分算子
L
{\displaystyle L\,}
G
(
x
,
s
)
s
,
x
∈
M
{\displaystyle G(x,s)\,s,x\in M}
L
G
(
x
,
s
)
=
δ
(
x
−
s
)
(
1
)
{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)\ \ \ \ \ (1)}
其中
δ
{\displaystyle \delta \,}
狄拉克δ函數 。此技巧可用來解下列形式的微分方程：
L
u
(
x
)
=
f
(
x
)
(
2
)
{\displaystyle Lu(x)=f(x)\ \ \ \ (2)}
若
L
{\displaystyle L}
零空間 非平凡，則格林函數不唯一。不過，實際上因着對稱性 、邊界條件 或其他的因素，可以找到唯一的格林函數。一般來說，格林函數只是一個廣義函數 。
格林函數在凝聚態物理學 中常被使用，因為格林函數允許擴散方程式 有較高的精度。在量子力學 中，哈密頓算子 的格林函數和狀態密度 有重要的關係。由於擴散方程式和薛定諤方程 有類似的數學結構，因此兩者對應的格林函數也相當接近。
若可找到線性算符
L
{\displaystyle L\,}
G
{\displaystyle G\,}
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)\,}
s
{\displaystyle s\,}
∫
L
G
(
x
,
s
)
f
(
s
)
d
s
=
∫
δ
(
x
−
s
)
f
(
s
)
d
s
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds=f(x).}
由公式 (2) 可知上式的等號右側等於
L
u
(
x
)
{\displaystyle Lu(x)\,}
L
u
(
x
)
=
∫
L
G
(
x
,
s
)
f
(
s
)
d
s
.
{\displaystyle Lu(x)=\int LG(x,s)f(s)ds.}
由於算符
L
{\displaystyle L\,}
x
{\displaystyle x\,}
s
{\displaystyle s\,}
L
{\displaystyle L\,}
L
u
(
x
)
=
L
(
∫
G
(
x
,
s
)
f
(
s
)
d
s
)
.
{\displaystyle Lu(x)=L\left(\int G(x,s)f(s)ds\right).}
而以下的式子也會成立：
u
(
x
)
=
∫
G
(
x
,
s
)
f
(
s
)
d
s
.
(
3
)
{\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds.\ \ \ \ (3)}
因此，若知道 (1) 式的格林函數，及 (2) 式中的 f(x) ，由於 L 為線性算符，可以用上述的方式得到 u(x) 。換句話說， (2) 式的解 u(x) 可以由 (3) 式的積分得到。若可以找到滿足 (1) 式的格林函數 G ，就可以求出 u(x) 。
並非所有的算符 L 都存在對應的格林函數。格林函數也可以視為算符 L 的左反元素 。撇開要找到特定算符的格林函數的難度不論，(3) 式的積分也很難求解，因此此方法只能算是提供了一個理論上存在的解法。
格林函數可以用來解非齊次的微-積分方程──多半是史特姆-萊歐維爾問題 。若 G 是算符 L 的格林函數，則方程式 Lu = f 的解 u 為
u
(
x
)
=
∫
f
(
s
)
G
(
x
,
s
)
d
s
.
{\displaystyle u(x)=\int {f(s)G(x,s)\,ds}.}
可以視為 f 依狄拉克δ函數的基底展開，再將所有投影 量疊加 的結果。以上的積分為弗雷德霍姆積分方程
格林函數的主要用途是用來求解非齊次的邊界值問題 。在近代的理論物理 中，格林函數一般是用來作為費曼圖 中的傳播子 ，而「格林函數」一詞也用來表示量子力學 中的關聯函數
令
L
{\displaystyle L}
算子
L
=
d
d
x
[
p
(
x
)
d
d
x
]
+
q
(
x
)
{\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)}
而 D 是邊界條件算子
D
u
=
{
α
1
u
′
(
0
)
+
β
1
u
(
0
)
α
2
u
′
(
l
)
+
β
2
u
(
l
)
{\displaystyle Du=\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}u'(0)+\beta _{1}u(0)\\\alpha _{2}u'(l)+\beta _{2}u(l)\end{matrix}}\right.}
令
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
[
0
,
l
]
{\displaystyle [0,l]}
連續函數 ，並假設以下問題
L
u
=
f
D
u
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}
有正則特牲；即其齊次問題只存在尋常 解。
則存在唯一解
u
(
x
)
{\displaystyle u(x)\,}
L
u
=
f
D
u
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}Lu=f\\Du=0\end{matrix}}}
而其解的計算方式如下
u
(
x
)
=
∫
0
ℓ
f
(
s
)
g
(
x
,
s
)
d
s
{\displaystyle u(x)=\int _{0}^{\ell }f(s)g(x,s)\,ds}
而中
g
(
x
,
s
)
{\displaystyle g(x,s)\,}
格林函數 ，有以下的特性：
g
(
x
,
s
)
{\displaystyle g(x,s)\,}
x
{\displaystyle x\,}
s
{\displaystyle s\,}
對所有
x
≠
s
{\displaystyle x\neq s}
L
g
(
x
,
s
)
=
0
{\displaystyle Lg(x,s)=0\,}
對所有
s
≠
0
,
l
{\displaystyle s\neq 0,l}
D
g
(
x
,
s
)
=
0
{\displaystyle Dg(x,s)=0\,}
微分 跳躍：
g
′
(
s
+
0
,
s
)
−
g
′
(
s
−
0
,
s
)
=
1
/
p
(
s
)
{\displaystyle g'(s_{+0},s)-g'(s_{-0},s)=1/p(s)\,}
對稱：
g
(
x
,
s
)
=
g
(
s
,
x
)
{\displaystyle g(x,s)=g(s,x)\,}
若一微分算子 L 有一組完備的特徵向量
Ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \Psi _{n}(x)}
Ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \Psi _{n}(x)}
λ
n
{\displaystyle \lambda _{n}}
L
Ψ
n
=
λ
n
Ψ
n
{\displaystyle L\Psi _{n}=\lambda _{n}\Psi _{n}}
先假設函數
Ψ
n
(
x
)
{\displaystyle \Psi _{n}(x)}
δ
(
x
−
x
′
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
(
x
)
Ψ
n
(
x
′
)
.
{\displaystyle \delta (x-x')=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x').}
經由證明可得下式：
G
(
x
,
x
′
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
(
x
)
Ψ
n
(
x
′
)
λ
n
.
{\displaystyle G(x,x')=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Psi _{n}(x)\Psi _{n}(x')}{\lambda _{n}}}.}
若在等號兩側加上微分算子 L ，則可以證明以上假設的完備性。
有關以上格林函數的進一步研究，及格林函數和特徵向量所組成空間的關係，則為弗雷德霍姆理論
先由格林定理 開始：
∫
V
(
ϕ
∇
2
ψ
−
ψ
∇
2
ϕ
)
d
V
=
∫
S
(
ϕ
∇
ψ
−
ψ
∇
ϕ
)
⋅
d
σ
^
{\displaystyle \int _{V}(\phi \nabla ^{2}\psi -\psi \nabla ^{2}\phi )dV=\int _{S}(\phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi )\cdot d{\hat {\sigma }}}
假設線性算符 L 為拉普拉斯算子
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
G 為拉普拉斯算子的格林函數。則因為格林函數的定義，可得下式：
L
G
(
x
,
x
′
)
=
∇
2
G
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle LG(x,x')=\nabla ^{2}G(x,x')=\delta (x-x')}
令格林定理中的
ψ
=
G
{\displaystyle \,\!\psi =G}
∫
V
ϕ
(
x
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
d
3
x
′
−
∫
V
G
(
x
,
x
′
)
∇
2
ϕ
(
x
′
)
d
3
x
′
=
∫
S
ϕ
(
x
′
)
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
′
ϕ
(
x
′
)
⋅
d
σ
^
′
(
4
)
{\displaystyle \int _{V}\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'-\int _{V}G(x,x')\nabla ^{2}\phi (x')\ d^{3}x'=\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (4)}
根據上式，可以解拉普拉斯方程
∇
2
ϕ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=0}
泊松方程
∇
2
ϕ
(
x
)
=
−
4
π
ρ
(
x
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x)=-4\pi \rho (x)}
狄利克雷邊界條件 或是諾伊曼邊界條件 。換句話說，在以下任一個條件成立時，可以解一空間內任一位置的
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\phi (x)}
已知
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\phi (x)}
已知
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\phi (x)}
法向導數 （諾伊曼邊界條件）。 若想解在區域內的
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\phi (x)}
∫
V
ϕ
(
x
′
)
δ
(
x
−
x
′
)
d
3
x
′
{\displaystyle \int \limits _{V}{\phi (x')\delta (x-x')\ d^{3}x'}}
可化簡為
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\phi (x)}
∇
2
ϕ
(
x
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi (x')}
ρ
′
(
x
′
)
{\displaystyle \,\!\rho '(x')}
ρ
′
(
x
)
=
−
4
π
ρ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\rho '(x)=-4\pi \rho (x)}
ρ
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \,\!\rho '(x)=0}
ϕ
(
x
)
=
∫
V
G
(
x
,
x
′
)
ρ
′
(
x
′
)
d
3
x
′
+
∫
S
ϕ
(
x
′
)
∇
′
G
(
x
,
x
′
)
−
G
(
x
,
x
′
)
∇
′
ϕ
(
x
′
)
⋅
d
σ
^
′
(
5
)
{\displaystyle \phi (x)=\int _{V}G(x,x')\rho '(x')\ d^{3}x'+\int _{S}\phi (x')\nabla 'G(x,x')-G(x,x')\nabla '\phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'\ \ \ \ \ (5)}
上式即為調和函數 （harmonic function）的特性之一：若邊界上的值或法向導數已知，則可以求出區域內每個位置的數值。
在靜電學 中，
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\phi (x)}
電位 ，
ρ
(
x
)
{\displaystyle \,\!\rho (x)}
電荷 密度 ，而法向導數
∇
ϕ
(
x
′
)
⋅
d
σ
^
′
{\displaystyle \nabla \phi (x')\cdot d{\hat {\sigma }}'}
電場 在法向的分量。
若目前的邊界條件為狄利克雷邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其值也為 0 的格林函數。若邊界條件為諾伊曼邊界條件，可以選擇在 x 或 x' 在邊界時，其法向導數為 0 的格林函數。因此 (5) 式等號右側的二個積分項有一項為 0 ，只剩下一項需計算。
在自由空間 的情形下（此時可將邊界條件視為：
lim
x
^
→
∞
ϕ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{{\hat {x}}\to \infty }\phi (x)=0}
G
(
x
^
,
x
^
′
)
=
1
|
x
^
−
x
^
′
|
{\displaystyle G({\hat {x}},{\hat {x}}')={\frac {1}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}}
若
ρ
(
x
^
)
{\displaystyle \,\!\rho ({\hat {x}})}
電荷密度 ，則可得到電荷密度和電位
ϕ
(
x
^
)
{\displaystyle \,\!\phi ({\hat {x}})}
ϕ
(
x
^
)
=
∫
V
ρ
(
x
′
)
|
x
^
−
x
^
′
|
d
3
x
′
{\displaystyle \phi ({\hat {x}})=\int _{V}{\frac {\rho (x')}{|{\hat {x}}-{\hat {x}}'|}}\ d^{3}x'}
針對以下微分方程
L
u
=
u
″
+
u
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}Lu\end{matrix}}=u''+u=f(x)}
D
u
=
u
(
0
)
=
0
,
u
(
π
2
)
=
0
{\displaystyle Du=u(0)=0\quad ,\quad u\left({\frac {\pi }{2}}\right)=0}
找出格林函數。
第 1 步
根據定理中，格林函數的特性 2，可得
g
(
x
,
s
)
=
c
1
(
s
)
⋅
cos
x
+
c
2
(
s
)
⋅
sin
x
{\displaystyle g(x,s)=c_{1}(s)\cdot \cos x+c_{2}(s)\cdot \sin x}
在 x < s 時因特性 3 可知
g
(
0
,
s
)
=
c
1
(
s
)
⋅
1
+
c
2
(
s
)
⋅
0
=
0
,
c
1
(
s
)
=
0
{\displaystyle g(0,s)=c_{1}(s)\cdot 1+c_{2}(s)\cdot 0=0,\quad c_{1}(s)=0}
（此時不需考慮
g
(
π
2
,
s
)
=
0
{\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=0}
x
≠
π
2
{\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}}
x > s 時因特性 3 可知
g
(
π
2
,
s
)
=
c
1
(
s
)
⋅
0
+
c
2
(
s
)
⋅
1
=
0
,
c
2
(
s
)
=
0
{\displaystyle g({\frac {\pi }{2}},s)=c_{1}(s)\cdot 0+c_{2}(s)\cdot 1=0,\quad c_{2}(s)=0}
（此時不需考慮
g
(
0
,
s
)
=
0
{\displaystyle \quad g(0,s)=0}
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
g
(
x
,
s
)
=
{
a
(
s
)
sin
x
,
x
<
s
b
(
s
)
cos
x
,
s
<
x
{\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}a(s)\sin x,\;\;x<s\\b(s)\cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}
第 2 步
依格林函數的特性，找出 a (s )和b (s ).
根據特性 1，可得
a
(
s
)
sin
s
=
b
(
s
)
cos
s
{\displaystyle a(s)\sin s=b(s)\cos s\quad }
根據特性 4，可得
b
(
s
)
⋅
[
−
sin
s
]
−
a
(
s
)
⋅
cos
s
=
1
1
=
1
.
{\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.}
解上述二式，可以求出 a (s )和b (s )
a
(
s
)
=
−
cos
s
;
b
(
s
)
=
−
sin
s
{\displaystyle a(s)=-\cos s\quad ;\quad b(s)=-\sin s}
因此格林函數為
g
(
x
,
s
)
=
{
−
1
⋅
cos
s
⋅
sin
x
,
x
<
s
−
1
⋅
sin
s
⋅
cos
x
,
s
<
x
{\displaystyle g(x,s)=\left\{{\begin{matrix}-1\cdot \cos s\cdot \sin x,\;\;x<s\\-1\cdot \sin s\cdot \cos x,\;\;s<x\end{matrix}}\right.}
對照此解和格林函數的特性 5，可知此解也滿足特性 5 的要求。
若流形為 R ，而線性算符 L 為 d /dx ，則單位階躍函數 H (x − x 0 ) 為 L 在 x 0 處的格林函數。
若流形為第一象限平面 { (x , y ) : x , y ≥ 0 } 而線性算符 L 為拉普拉斯算子，並假設在x = 0 處有狄利克雷邊界條件 ，而在y = 0 處有諾依曼邊界條件 ，則其格林函數為
G
(
x
,
y
,
x
0
,
y
0
)
=
1
2
π
[
ln
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
−
ln
(
x
+
x
0
)
2
+
(
y
−
y
0
)
2
]
{\displaystyle G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]}
+
1
2
π
[
ln
(
x
−
x
0
)
2
+
(
y
+
y
0
)
2
−
ln
(
x
+
x
0
)
2
+
(
y
+
y
0
)
2
]
.
{\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}
Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field , Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9 .（其中的第五章介紹如何使用格林函數解靜電場的邊界值問題）
A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
![{\displaystyle L={d \over dx}\left[p(x){d \over dx}\right]+q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17348833c6b88f42a9a3c622006c39371e78dea)
![{\displaystyle [0,l]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c573a429032d350e2160db65ff725e1f8f74d4)
![{\displaystyle b(s)\cdot [-\sin s]-a(s)\cdot \cos s={\frac {1}{1}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44a44ff55840179a41f4067968c088194fe55cce)
![{\displaystyle G(x,y,x_{0},y_{0})={\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3a4699b83fb92ac32fa2ee544acbe03ef7d39aa)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2\pi }}\left[\ln {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}-\ln {\sqrt {(x+x_{0})^{2}+(y+y_{0})^{2}}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1cfa92aa50a6d303596183acfed5c700ddd86c0)