沙滕範數

泛函分析中,沙滕範數(Schatten norm,或沙滕–馮·諾依曼範數,Schatten–von-Neumann norm)來自p-可積的推廣,與跡類範數希爾伯特-施密特範數相似。

定義

 是希爾伯特空間, 是(線性)有界算子。對 ,定義T的沙滕p-範數為

 

其中 ,平方根是算子平方根。

T是緊的、 可分離,則

 

T奇異值(即厄米算子 的特徵值)滿足 

性質

下面將p的範圍推廣到  表示算子範數。指標 的對偶是 

  • 沙滕範數是酉不變的:對酉算子UV 
 
  • 它們滿足赫爾德不等式 使得 ,以及定義在希爾伯特空間之間的算子 
 

 滿足 ,則

 .

赫爾德不等式的這後一個形式有更一般情形的證明(對非交換 空間,而非沙滕-p類。[1]對於矩陣,見[2])。

  • 子乘性: 、定義在希爾伯特空間 之間的算子 
 
  • 單調性:對於 
 
  • 對偶性:令 為有限維希爾伯特空間, q滿足 ,則
 
其中 表示希爾伯特-施密特算子
  •  為希爾伯特空間 的兩個正交基,則對 
 

備註

注意 是希爾伯特-施密特範數(見希爾伯特-施密特算子), 是跡類範數(見跡類算子), 是算子範數(見算子範數)。 對 ,函數 擬賦范空間的例子。

具有有限沙滕範數的算子稱作沙滕類算子,其空間記作 。此範數下 是巴拿赫空間,對 是希爾伯特空間。

注意 ,後者即緊算子代數。這是因為,若和有限,則譜也有限或至多是可數無窮多,且以原點為極限點,因此是緊算子。

 情形常稱作核範數(或跡範數、樊𰋀n-範數[3])。

另見

矩陣範數#Schatten範數

參考文獻

  1. ^ Fack, Thierry; Kosaki, Hideki. Generalized  -numbers of  -measurable operators. (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 1986, 123 (2) [2024-05-23]. (原始內容存檔 (PDF)於2023-12-05). 
  2. ^ Ball, Keith; Carlen, Eric A.; Lieb, Elliott H. Sharp uniform convexity and smoothness inequalities for trace norms. Inventiones Mathematicae. 1994, 115: 463–482. S2CID 189831705. doi:10.1007/BF01231769. 
  3. ^ Fan, Ky. Maximum properties and inequalities for the eigenvalues of completely continuous operators. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1951, 37 (11): 760–766. Bibcode:1951PNAS...37..760F. PMC 1063464 . PMID 16578416. doi:10.1073/pnas.37.11.760 . 
  • Rajendra Bhatia, Matrix analysis, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
  • John Watrous, Theory of Quantum Information, 2.3 Norms of operators, lecture notes, University of Waterloo, 2011.
  • Joachim Weidmann, Linear operators in Hilbert spaces, Vol. 20. Springer, New York, 1980.