漸近線

在解析幾何和微分學中，曲線的漸近線（英語：Asymptote）是一條使得當x或y坐標之一或兩者趨於無窮大時，曲線與該線之間的距離接近零的線。在射影幾何和相關上下文中，曲線的漸近線是在無窮大點處與曲線相切的線。

漸近線分為三種類型：水平，垂直和傾斜。對於由函數y =ƒ（x）的圖給出的曲線，水平漸近線是水平線，函數的圖隨着x趨於+∞或-∞趨近於水平線。垂直漸近線是垂直線，函數在該垂直線附近無限增長。斜漸近線的斜率非零但有限，因此當x趨於+∞或-∞時，函數的圖接近該斜率。

更一般地說，如果兩條曲線之間的距離趨於無窮大，則兩條曲線之間的距離趨向於零，則一條曲線是另一條曲線的曲線漸近線，儘管術語「漸近線」本身通常是為線性漸近線保留的。

漸近線傳達有關大曲線特性的信息，確定函數的漸近線是繪製函數圖的重要步驟。從廣義上講，對功能漸近線的研究是漸近分析主題的一部分。當任意曲線上一點$M$沿曲線無限遠離原點時，如果$M$到一條直線（或另外一條曲線）的距離無限趨近於零，那麼這條直線（曲線）稱為這條曲線的漸近線。數學上的定義則是：若函數$y=f\left(x\right)$的圖形收斂，則漸近線為$y=\lim _{x\to \infty }f\left(x\right)$。

例解

例如，直線$y={\frac {b}{a}}x$是雙曲線${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$的漸近線，因為雙曲線上的點$M$到直線$y={\frac {b}{a}}x$的距離$MQ<MN$；當$MN$無限趨近於0時，$MQ$也無限趨近於0。所以按照定義，直線$y={\frac {b}{a}}x$是該雙曲線的漸近線。同理，直線$y=-{\frac {b}{a}}x$也是該雙曲線的漸近線。

對於$F\left(x,y\right)=0$來說，如果當$x\rightarrow a$時，有$y\rightarrow \pm \infty$(左右極限不一定相等)，就把$x=a$叫做$F\left(x,y\right)=0$的垂直漸近線；如果當$x\rightarrow \infty$時，有$y\rightarrow b$，就把$y=b$叫做$F\left(x,y\right)=0$的水平漸近線。例如，$y=3$是曲線$xy=3x+2$的水平漸近線。

求法

依據

求漸近線，可以依據以下結論：

若極限$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{x}}=a$存在，且極限$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=b$也存在，那麼曲線$y=f\left(x\right)$具有漸近線$y=ax+b$。

例子

例：求$y={\frac {x^{2}}{1+x}}$的漸近線。

解：(1)$x=-1$為其垂直漸近線。

(2)$\lim _{x\to \infty }{\frac {f\left(x\right)}{x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{1+x}}$，即$a=1$；

$\lim _{x\to \infty }\left[f\left(x\right)-ax\right]=\lim _{x\to \infty }{\frac {-x}{1+x}}=-1$，即$b=-1$；

所以$y=x-1$也是其漸近線。