特定指數的費馬大定理的證明

費馬大定理的完整證明是一個艱深的過程，但是，對於某些特定的指數n，其證明並不算十分複雜，因此在此展示費馬大定理的特例證明。

n=4

證明$x^{4}+y^{4}=z^{4}$沒有全不為0的整數解。

預備知識

假設x,y,z是滿足$x^{2}+y^{2}=z^{2}$的一組互質的整數解，那麼存在互質的整數a,b，使得$x^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}$。

證明過程

1

假設(x,y,z)為方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$一個解並且x,y互質，y為偶數，則$x^{2}=a^{2}-b^{2},y^{2}=2ab,z=a^{2}+b^{2}$，其中$a>b>0$，a、b互質，a、b的奇偶性相反。由$x^{2}=a^{2}-b^{2}$得a必定是奇數，b必定是偶數。

2

另外，亦得$x^{2}+b^{2}=a^{2}$，再從此得$x=c^{2}-d^{2},b=2cd,a=c^{2}+d^{2}$，其中$c>d>0$，c、d互質，c、d的奇偶性相反。

3

最後有$y^{2}=2ab=4cd(c^{2}+d^{2})$，由此得c、d和$c^{2}+d^{2}$為平方數。於是可設$c=e^{2},d=f^{2},c^{2}+d^{2}=g^{2}$,即$e^{4}+f^{4}=g^{2}$。換句話說，(e,f,g)為方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$的另外一個解。但是，$z=a^{2}+b^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2}+4c^{2}d^{2}>g^{4}>g>0$。就是說如果我們從一個z值出發，必定可以找到一個更小的數值 g,使它仍然滿足方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$。如此類推，我們可以找到一個比g更小的數值，同時滿足上式。但是，這是不可能的！因為z為一有限值，這個數值不能無窮地遞降下去！由此可知我們最初的假設不正確。

所以，方程$x^{4}+y^{4}=z^{2}$沒有正整數解。