矩陣函數

數學上講,矩陣函數是把矩陣映射到另一個矩陣的函數

將純量函數拓展為矩陣函數

指數級數

如果實值函數 f具有泰勒展開

 

那麼矩陣函數可以通過用矩陣替換自變量 得到:指數運算變成矩陣指數,加法變成矩陣和,與純量係數的乘法變成矩陣和純量的乘法。如果實級數在 時收斂,那麼其對應的關於 的矩陣級數也將收斂,如果在某個滿足 矩陣範數 上滿足 

可對角化矩陣

如果矩陣 可對角化矩陣,則結果可以簡化為一個由各個特徵值的函數值構成的矩陣。換句話說,假設我們可以找到矩陣 和對角陣 ,使得 ,那麼 把指數級數的定義用到這個分解上,我們可以得到

 

其中 表示 的對角元素。

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參考資料

  • Higham, Nicholas J. Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2008. ISBN 9780898717778.