等周定理

等周定理,又稱等周不等式(英語:isoperimetric inequality),是一個幾何中的不等式定理,說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的「等周」指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中,以形的面積最大;另一個說法是面積相等的幾何形狀之中,以圓形的周界長度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達:若為封閉曲線的周界長,為曲線所包圍的區域面積,

雖然等周定理的結論早已為人所知,但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後,數學家們陸續給出了不同的證明,其中有不少是非常簡單的。等周問題有許多不同的推廣,例如在各種曲面而不是平面上的等周問題,以及在高維的空間中給定的「表面」或區域的最大「邊界長度」問題等。

在物理中,等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關。一個直觀的表現就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下(例如失重的太空艙里),水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因為當水珠體積一定時,表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值。根據等周定理,最小值是在水珠形狀為球狀時達到。

歷史

 
不完全凸的封閉曲線的話,能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形,以增加面積,而周長不變
 
一個狹長的圖形可以通過「壓扁」來變得「更圓」,從而使得面積更大而周長不變。

平面上的等周問題是等周問題最經典的形式,它的出現可以追溯到很早以前。這個問題可以被表述為:在平面上所有周長一定的封閉曲線中,是否有一個圍成的面積最大?如果有的話,是什麼形狀?另一種等價的表述是:當平面上的封閉曲線圍成的面積一定時,怎樣的曲線周長最小?

雖然圓看似是問題的表面答案,但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納英語Jakob Steiner以幾何方法證明若答案存在,答案必然是圓形[1]。不久之後他的證明被其他數學家完善。

其方法包括證明了不完全的封閉曲線的話,能以「翻折」的部分以成為凸的圖形,以增加面積;不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓,是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格證明。

1901年,阿道夫·赫維茲傅里葉級數格林定理給出一個純解析的證明。

證明

初等證明

以下給出一個較初等的證明[2],分5步。

設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為A,亦以A、P來標記該區域及其邊界;那麼該圖形應當滿足如下性質:

1、A是一個凸區域。

  • 假使不然,A是一個凹區域。那麼根據定義,可以在P內找到兩個點M和N,使其連線MN有一部份M'N'不包含於A的內部。然而如以M'N'替換掉原來的那段弧,則周長將減少,面積將增加,從而將新圖形擴大若干倍後得到一個同樣周長,面積比A大的區域。矛盾。

2、凡平分周長P的弦必平分面積A。

  • 如果一弦MN平分P而將A分為大小不同的兩部份 ,那麼去掉 而將 對MN做對稱,則可得到一個周長仍然等於P而面積等於 的區域,矛盾。

3、凡平分A的弦,無論方向,長度相等。

  • 如果不然,不妨設兩弦MN和M'N'均平分面積A而MN>M'N'。那麼分別選取MN及其任一側的曲綫(半個P,不妨記為 ),以及M'N'及其任一側的區域(另行劃分的半個P,記為 ),並粘合在一起使得M'N'落在MN上,M與M'重合。
    • 此時,新的圖形仍然滿足周長為P,面積為A的性質,且由於MN>M'N',N'應落於MN之間。
  • 以M為中心,分別對    倍的放縮,使兩曲綫的終端吻合(即N和N'經過變換之後重合,記為 ),得到兩個分別與原區域相似的區域  。適當調整  的值,使曲綫 的周長仍為P。
    • 此時  的長度分別等於  ,所圍的面積分別等於  ;並且由於MN和MN'經過放縮後重合,有 
  • 由於曲綫 的周長仍為P,故 ,從而 ;而由  
  • 所以, 的面積為 ,與A最大矛盾。

4、若MN平分A,O為MN中點,那麼對P上任意一點R,都有OM=ON=OR。

  • 以O為中心,做MRN的中心對稱圖形,R對稱到R';那麼圖形MR'NRM的周長為P,面積為A。由第3步知MN和RR'的長度應該相等,而O也是RR'的中點,故得結論。

5、由於O到P上任意一點的距離都相等,所以P是圓。

傅里葉級數證明

不妨將封閉圖形周長定為2π,選取弧長參數t其取值為從0到2π,有參數方程(x,y)=[x(t),y(t)],並且根據封閉圖形有[x(0),y(0)]=[x(2π),y(2π)]。現展開為傅里葉級數

 

以及相應導數:

 

考慮帕塞瓦爾恆等式(注意這裏是實數情形),可以得到:

 

其中第二個等號是因為弧長參數表示的微分滿足 的關係。

根據格林公式,得到封閉圖形面積為 ,因此:

 

整理與聯繫上述等式(1)與(2),得:

 

此時可以證明S存在最大值(初等證明里沒有證明解的存在性),即該不等式取等號時的情況,若且唯若滿足以下條件:

 

最終可以得到參數方程即為圓:

 

證畢。

參見

參考來源

  1. ^ J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
  2. ^ 福原満洲雄、山中健,変分學入門,朝倉書店,1978.3.