策梅洛集合論
策梅洛集合論（德語：Zermelo-Mengenlehre），設立自恩斯特·策梅洛在1908年的重要論文，它是現代集合論的祖先。它與它的後代有特定的差別，經常被誤解並經常被誤引用。本文架設最初的公理，帶有最初的文本（從德文譯成了英文）和編號。
策梅洛集合論的公理
- 公理I。外延性公理（Axiom der Bestimmtheit）：「如果一個集合M的所有元素也是N的元素，且反之亦然...則M = N。簡要的說，所有集合由它所包含的元素確定」。
- 公理II。基本集合公理（Axiom der Elementarmengen）：「存在這樣的一個集合，即空集 ，它根本不包含元素。如果a是域的任何元素，存在一個集合{a}包含a並只包含a作為元素。如果a和b是域的任何兩個元素，總是存在一個集合{a, b}包含a和b作為元素，而不包含不同於它們二者的對象x」。參見空集公理、對集公理。
- 公理III。分離公理（Axiom der Aussonderung）：「只要命題函數–(x)對於一個集合M的所有元素是明確的，則存在M一個子集M' ，它精確地包含M中使–(x)為真的那些元素作為元素」。
- 公理IV。冪集公理（Axiom der Potenzmenge）：「對於所有集合T都對應着一個集合T' ，T的冪集，精確的包含T的所有子集作為元素」。
- 公理V。併集公理（Axiom der Vereinigung）：「對於所有集合T都對應着一個集合∪T，T的併集，精確的包含T的元素們的所有元素作為元素」。
- 公理VI。選擇公理（Axiom der Auswahl）：「如果T是其元素都是不同於 並且相互無交的集合們的集合，它的併集∪T包含至少一個子集S1有一個且只有一個元素公共於T的每個元素」。
- 公理VII。無窮公理（Axiom des Unendlichen）：「在域中存在至少一個集合Z包含空集作為一個元素，並且對於它的每個元素a都對應着形如{a}的進一步元素而構成的，換句話說，對於它的每個元素a它也包含對應的集合{a}作為元素」。
與標準集合論的聯繫
公認的標準集合論是策梅洛-弗蘭克爾集合論。其中沒有「基本集合公理」的完全對應者。（後來證實單元素集合可以從所謂的「對集公理」推導出來。如果a存在，a和a存在，所以{a,a}存在。通過外延性{a,a} = {a}。）空集公理已經被無窮公理所假定，現在不被包括為它的一部分了。
這裏的公理不包括正規公理和替代公理。它們是Thoralf Skolem在1922年基於同一年早些時候Adolf Fraenkel的工作而增加的。
在現代ZFC系統中，在分離公理中提及的「命題函數」被解釋為「可用帶有參數的一階公式定義的任何性質」。「一階公式」的概念在1904年策梅洛發表他的公理的時候是未知的，而他後來拒絕這種解釋因為太受限制了。
在通常的ZFC集合論的累積層次Vα（對於序數α）中，對於大於第一個無限序數ω的極限序數α的集合Vα之一形成了策梅洛集合論的模型。所以策梅洛集合論的相容性是ZFC集合論的一個定理。策梅洛的公理不允許很多無限基數的存在；例如，在策梅洛集合論的模型Vω+ω中對於有限序數α只有無限基數 。
無窮公理現在通常被修改為斷言第一個無限馮·諾伊曼序數 的存在性；有意思的是觀察到最初的策梅洛公理不能證明這個集合的存在，而修改後的策梅洛公理也不能證明策梅洛的無窮公理。策梅洛的公理（最初的或修改後的）不能證明 作為一個集合的存在性，也不能證明帶有無限標定（index）的累積層次的任何階的存在性。
策梅洛論文的目標
介紹聲稱了集合論學科的真正存在性，「它好像受到從它的原理推導出的特定矛盾或「自相矛盾」的威脅–這些原理必然支配我們的思維–而完全滿意的解決似乎仍未找到。」策梅洛當然指的是羅素悖論。
分離公理
策梅洛註解他的系統中的公理III負責消除悖論。它不同於康托爾最初的定義。
集合不能用任何任意的邏輯上可定義的概念來獨立的定義。它們必須被「分離」為已經「給出」的集合的子集。他說這消除了矛盾性的想法如「所有集合的集合」或「所有序數的集合」。
康托爾定理
引用
- Zermelo, Ernst. "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I". Mathematische Annalen, 65: 261-281, 1908. English translation, "Investigations in the foundations of set theory" in Heijenoort 1967, pages 199-215.