提示 ：此條目頁的主題不是
絕對值 。
絕對賦值 是Hensel 引進p進數 後發展出的一個概念，常用於單變量代數函數論或者類域論 方面的研究。
確切的說，絕對賦值 是一個函數 ，是整環 或域 的元素的「大小」的度量。更確切地說，對整環D，一個絕對賦值| x |是從D到實數R，且滿足下列條件的任何映射：
|x| ≥ 0,
|x| = 0 若且唯若 x = 0,
|xy| = |x||y|,
|x + y| ≤ |x| + |y|. 從第二條和第三條可以看出，| 1 |=1, | -1| = 1。此外，對於任意正整數 n，
| 1+1+...(n次) | = | −1−1...(n次) | ≤ n. 注意有些英文書絕對賦值叫賦值 （valuations）、範數 （norm）、量值（magnitude）。
如果|x+ y|滿足更強的屬性 |x+ y|≤MAX（|x|，|y|），那麽|x|被稱為超度量 或非阿基米德 絕對賦值，否則就叫阿基米德 絕對賦值。每一個整環有至少有一個絕對賦值，稱為平凡賦值 。這種絕對賦值是：當x= 0時|x|= 0，x≠ 0時|x|= 1，有限域只能有平凡賦值 。| x |1 < 1 若且唯若 | x |2 < 1. ，那麼這兩個絕對賦值相等.如果兩個非平凡絕對賦值是相等的，那麼一些指數e，有 | x |1 e x |2 。（請注意，不能提高絕對賦值的次冪來獲得另一個不同的絕對賦值，例如對實數，一個絕對賦值平方後產生另一個不同值，這種情況就不是一個絕對賦值函數。）絕對賦值可導致到等價類來理解，換言之絕對賦值的等價類，被稱為一個素點 。奧斯特洛夫斯基定理 指出，有理數Q中，p-adic數是非平凡絕對賦值，每一個素數p的絕對賦值是有理數Q的素點 ：
q = p n a /b ), 其中a，b是不被p整除的整數。
|
p
n
a
b
|
p
=
p
−
n
.
{\displaystyle \left|p^{n}{\frac {a}{b}}\right|_{p}=p^{-n}.}
素點的定義就來自上面普通絕對賦值和p的絕對賦值。
設
R
=
C
[
x
,
y
]
{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {R}}=\mathbb {C} [x,y]}
複域 的兩個變量的多項式環 ，
K
=
C
(
x
,
y
)
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {K} =\mathbb {C} (x,y)}
有理函數 ，並考慮收斂 ：
f
(
x
,
y
)
=
y
−
∑
n
=
3
∞
x
n
n
!
∈
C
{
x
,
y
}
{\displaystyle f(x,y)=y-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\in \mathbb {C} \{x,y\}}
t
{\displaystyle t}
解析零點 集為
V
f
{\displaystyle \scriptstyle V_{f}\,}
多項式環 的形式冪級數環 ：
V
f
=
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
|
f
(
x
,
y
)
=
0
}
=
{
(
x
,
y
)
∈
C
2
|
(
x
,
y
)
=
(
t
,
∑
n
=
3
∞
t
n
)
}
{\displaystyle V_{f}=\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\,|\,f(x,y)=0\}=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\,|\,(x,y)=\left(t,\sum _{n=3}^{\infty }t^{n}\right)\right\}}
映射
v
:
C
[
x
,
y
]
→
Z
{\displaystyle \scriptstyle v:\mathbb {C} [x,y]\rightarrow \mathbb {Z} }
C
[
x
,
y
]
{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} [x,y]}
P
{\displaystyle P}
限制 ：
v
(
P
)
=
o
r
d
t
(
P
|
V
f
)
=
o
r
d
t
(
P
(
t
,
∑
n
=
3
+
∞
t
n
)
)
∀
P
∈
C
[
x
,
y
]
{\displaystyle v(P)=\mathrm {ord} _{t}\left(P|_{V_{f}}\right)={\mathrm {ord} }_{t}\left(P\left(t,\sum _{n=3}^{+\infty }t^{n}\right)\right)\quad \forall P\in \mathbb {C} [x,y]}
逆映射 也可能得到延拓 （擴張）：
v
(
P
/
Q
)
=
{
v
(
P
)
−
v
(
Q
)
∀
P
/
Q
∈
C
(
x
,
y
)
∗
∞
P
≡
0
∈
C
(
x
,
y
)
{\displaystyle v(P/Q)={\begin{cases}v(P)-v(Q)&\forall P/Q\in {\mathbb {C} (x,y)}^{*}\\\infty &P\equiv 0\in \mathbb {C} (x,y)\end{cases}}}
若形式冪級數環 不是多項式環 產生的，則容易證明上面逆映射延拓 是賦值，在幾何上叫曲線 （一維 解析代數簇 ）的交點 。
如：
v
(
x
)
=
o
r
d
t
(
t
)
=
1
v
(
x
6
−
y
2
)
=
o
r
d
t
(
t
6
−
t
6
−
2
t
7
−
3
t
8
−
⋯
)
=
o
r
d
t
(
−
2
t
7
−
3
t
8
−
⋯
)
=
7
v
(
x
6
−
y
2
x
)
=
o
r
d
t
(
−
2
t
7
−
3
t
8
−
⋯
)
−
o
r
d
t
(
t
)
=
7
−
1
=
6
{\displaystyle {\begin{array}{l}v(x)=\mathrm {ord} _{t}(t)=1\\v(x^{6}-y^{2})=\mathrm {ord} _{t}(t^{6}-t^{6}-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )=\mathrm {ord} _{t}(-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )=7\\v\left({\frac {x^{6}-y^{2}}{x}}\right)=\mathrm {ord} _{t}(-2t^{7}-3t^{8}-\cdots )-\mathrm {ord} _{t}(t)=7-1=6\end{array}}}
Jacobson, Nathan, Valuations: paragraph 6 of chapter 9, Basic algebra II 2nd , New York: W. H. Freeman and Company, 1989 [1980], ISBN 0-7167-1933-9Zbl 0694.16001 Chapter VI of Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra, Volume II, Graduate Texts in Mathematics 29 , New York, Heidelberg: Springer-Verlag, 1976 [1960], ISBN 978-0-387-90171-8
![{\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {R}}=\mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f55cbdd4a478f3a29b12486d4c5be2871a623ba)
![{\displaystyle \scriptstyle v:\mathbb {C} [x,y]\rightarrow \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ec89d099764fad993fca910a07b397571628ed)
![{\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ca002bf4639929dcd8e3397c8eaa525d0ac28f6)
![{\displaystyle v(P)=\mathrm {ord} _{t}\left(P|_{V_{f}}\right)={\mathrm {ord} }_{t}\left(P\left(t,\sum _{n=3}^{+\infty }t^{n}\right)\right)\quad \forall P\in \mathbb {C} [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25cd88238a5b4faae3406bbb4cfc5beca40c0881)
