自然密度

自然密度(英語:natural density),又稱漸進密度(英語:asymptotic density),是數論中度量自然數子集大小的工具之一。

簡介

平方數集和自然數集的大小關係為例:

平方數集與自然數集都是可數無窮集,我們能夠在兩個集合間建立一一映射(對於任意的自然數 都可以找到對應的平方數 與之對應,反之亦然),即兩個集合是等勢的。
然而,這種基於基數的大小比較違反了自然數多於平方數的直觀認識,因為所有平方數都是自然數,而卻有許多自然數不是平方數,且隨着自然數的增大平方數會變得越來越稀少。通過將這種度量集合大小的直覺嚴格化,可以得到自然密度這一概念。

考慮自然數的一個子集 整數區間 

如果從整數區間 隨機選取一個整數,那麼這個整數屬於 概率應該等於 與整數區間 的交集中的所有元素在整數區間 中的佔比。當 趨近於無窮時,若上述概率也趨近於某個極限,則將該極限定義為 的自然密度。
 的自然密度也可以被理解為:任取一個自然數,該自然數屬於 的概率。

自然密度(以及一些其他類型的密度)也是概率數論英語Probabilistic number theory的研究對象。

施尼勒爾曼密度不同,並不是任何自然數的子集都有自然密度。這是自然密度的一個不足之處。

定義

對於一個自然數集的子集 ,當 趨向於無窮時,若 中不大於 的元素個數與 的比值收斂 ,則稱 的自然密度為 

更進一步,若定義  里不大於 的元素個數,那麼命題「 的自然密度為 」等效於:

 ,當 [1]

從定義中可以看出,若 是某個集合 的自然密度,則一定有 

上自然密度

  是自然數集 的一個子集。對任何 ,定義  

 上自然密度(英語:upper asymptotic density)為:

 

其中 上極限 也可簡稱為 上密度。 

下自然密度

同樣地,定義A的下自然密度(英語:lower asymptotic density)為:

 

自然密度的其他定義方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定義,我們也可以說 自然密度 是:

 ,則 等於 (或  ) 。

2. 自然密度的定義還可以表示為:

 (若極限存在)[2]

3. 可以證明,下述命題也是自然密度的定義:

若將自然數集 的子集 寫作一個遞增數列:
 
那麼
 
 
 (若極限存在)

推廣

一個稍弱的密度定義是 上Banach密度(英語:upper Banach density)。對於 ,定義 為:

 

性質

  • 若對於集合 存在 ,則對於其補集  成立。
  •    均存在,則 成立。
  • 自然數集的自然密度為 ,即 成立。
  • 對於自然數集的任意有限子集 , 有 成立。
  • 對於平方數集 ,有 成立。
  • 對於偶數 ,有 成立。更一般地,對於等差級數組成的集合 ,有 成立。
  • 對於質數集合 ,由質數定理知: 成立。
  • 無平方數因數的數的集合的自然密度為 。更一般地,無 次方因數的數的集合的自然密度為 ,其中 黎曼ζ函數
  • 過剩數集合具有非零的自然密度[3]。Marc Deléglise在1998年證明了過剩數和完全數的集合的自然密度在0.2474與0.2480之間[4]
  • 所有在二進制表示法中位數為奇數的自然數的集合,即 ,不存在自然密度。這是因為該集合的上自然密度不等於下自然密度。
其上自然密度為:
 
而其下自然密度為:
 
  • 同樣,所有十進制表示法中以 開頭的自然數的集合也不具有自然密度。其上自然密度為 而其下自然密度為 [1]
  • 對區間[0,1]上的任意Equidistributed序列英語equidistributed sequence ,定義單調集族 :
 
則依定義有:
對於任意的  

其他密度函數

用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。 例如,集合 對數密度(英語:logarithmic density)可以定義為:

 (若極限存在)

同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。

相關條目

參考

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Tenenbaum (1995) p.261
  2. ^ Nathanson (2000) pp.256–257
  3. ^ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001. 
  4. ^ Deléglise, Marc. Bounds for the density of abundant integers. Experimental Mathematics. 1998, 7 (2): 137–143 [2018-10-18]. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363. (原始內容存檔於2020-10-13).