萊文伯格-馬夸特方法

萊文伯格-馬夸特方法(英語:Levenberg–Marquardt algorithm)能提供數非線性最小化(局部最小)的數值解。此演算法能藉由執行時修改參數達到結合高斯-牛頓算法以及梯度下降法的優點,並對兩者之不足作改善(比如高斯-牛頓算法之反矩陣不存在或是初始值離局部極小值太遠)。[1]

問題描述

假設   是一個從   的非線性映射,也就是說   , 那麼:

 

而我們的目的就是希望任意給定一個   以及合理的初始值  ,我們能找到一個  ,使得   盡量小(局部極小),其中  

解法

像大多數最小化的方法一樣,這是一個迭代的方法。首先根據泰勒展開式我們能把   寫為下面的近似,這有兩個好處:第一是線性、第二是只需要一階微分。

 

其中  雅可比矩陣。對於每次的迭代我們這麼作:假設這次 iteration 的點是  ,我們要找到一個    最小。 根據投影公式我們知道當下面式子被滿足的時候能有最小誤差:

 

我們將這個公式略加修改得到:

 

就是萊文伯格-馬夸特方法。如此一來   大的時候這種算法會接近最速下降法,小的時候會接近高斯-牛頓方法。為了確保每次   長度的減少,我們這麼作:先採用一個小的  ,如果   長度變大就增加  

這個演算法當以下某些條件達到時結束迭代:

  1. 如果發現   長度變化小於特定的給定值就結束。
  2. 發現   變化小於特定的給定值就結束。
  3. 到達了迭代的上限設定就結束。

參考資料

  1. ^ Levenberg-Marquardt backpropagation - MATLAB trainlm. www.mathworks.com. [2019-07-21]. (原始內容存檔於2020-10-25).