調和函數

在數學、數學物理學以及隨機過程理論中，都有調和函數的概念。一個調和函數是一個二階連續可導的函數f : U → R（其中U是Rⁿ里的一個開子集），其滿足拉普拉斯方程，即在U上滿足方程：

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0

上式也經常寫作

\nabla ^{2}f=0

或

\ \Delta f=0

，其中符號

\Delta

是拉普拉斯算子

調和函數還用一個較為弱的定義，但這個定義與上述的定義是等價的。

運用拉普拉斯-德拉姆算子 $\Delta$ ，調和函數可以在任意的黎曼流形上定義。在這種情況下，調和函數直接定義為：滿足 $\ \Delta f=0$

一個 $C^{2}$ 的函數如果滿足 $\Delta f\geq 0$ ，則被稱作次調和函數。

例子

二元的調和函數的例子有：

任意全純函數的實數部分和虛數部分。
函數：

$f(x_{1},x_{2})=\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

這個函數定義在R² \ {0}上（實際上是一個均勻線電荷所產生的電勢或一個細長的均勻無限長圓柱形物體產生的引力勢所對應的數學模型）

函數：

$f(x_{1},x_{2})=e^{x_{1}}\sin {x_{2}}$ 。

n元的調和函數的例子有：

Rⁿ所有的常數函數、線性函數和仿射函數（比如說兩塊均勻帶電無限大平板之間的電勢）。
定義在Rⁿ \ {0}上的函數f(x₁,...,x_n) = (x₁² + ... + x_n²)^{1 −n/2}，其中n ≥ 2。

在三元的調和函數的例子前，先定義 $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 以簡化形式。下面表格中的函數在經過數乘（乘以一個常數）、旋轉和相加後仍然會是調和函數。調和函數是由其奇點決定的。調和函數的奇點可以在電磁學中解釋為電荷所在的點，因此相應的調和函數可以看作是某種電荷分佈下的電勢場。

函數	奇點
${\frac {1}{r}}$	原點處的點電荷
${\frac {x}{r^{3}}}$	原點處的x-向電偶極矩
$-\ln(r^{2}-z^{2})\,$	整個z-軸上均勻帶電的線電荷
$-\ln(r+z)\,$	負的z-軸上均勻帶電的線電荷
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	整個z-軸上的線性電偶極矩
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	負的z-軸上的線性電偶極矩

性質

在給定的開集U上所有的調和函數的集合是其上的拉普拉斯算子Δ的核，因此是一個R的向量空間：調和函數的和與差以及數乘，結果依然是調和函數。

如果f是U上的一個調和函數，那麼f的所有偏導數也仍然是U上的調和函數，在調和函數類上，拉普拉斯算子和偏導數算子是交換的。

在某些意義上，調和函數是全純函數在實值函數上的對應物。所有的調和函數都是解析的，也就是說它們可以局部地展開成冪級數。這是關於橢圓算子的一個性質，而拉普拉斯算子是一個常見的例子。

收斂的調和函數列的一致極限仍會是調和的。這是因為所有滿足介值性質的連續函數都是調和函數。

與複函數理論的聯繫

一個全純函數的實數和虛數部分都是R²上的調和函數。反過來說，對於一個調和函數u，總可以找到一個調和函數v，使得函數u+iv是全純函數。這個函數v被稱為調和函數u的調和共軛。這裏的函數v在差一個常數的意義上是唯一定義的。這個結果在希爾伯特變換中有應用，也是數學分析中一個與奇異積分算子有關的基本例子。在幾何意義上，u和v可以被看作具有正交的關係。如果畫出兩者的等值線，那麼兩條線在交點處正交（兩條切線成直角）。在這種視角下，函數u+iv可以被看作一種「復位勢場」，其中u是一個位勢函數，而v是流函數。

調和函數規則性的理論

調和函數總是無窮次可導（光滑）的。事實上，調和函數是實解析函數的一種。

極大值定理

調和函數滿足以下的極大值定理：如果K是U的一個緊子集，那麼f在K上誘導的函數只能在邊界上達到其最大值和最小值。如果U是連通的，那麼這個定理意味着f不能達到最大值和最小值，除非它是常數函數。次調和函數也滿足這一定理。

介值性質

設B(x,r)是一個以x為中心，以r為半徑的完全在U中的球，那麼調和函數f(x)球的邊界上取值的平均值和f在球的內部的取值的平均值相同。也就是說：

$u(x)={\frac {1}{\omega _{n}r^{n-1}}}\oint _{\partial B(x,r)}u\,dS={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$

其中 $\omega _{n}$ 表示n維的單位球面。

劉維爾定理

如果f在整個Rⁿ都有定義的調和函數，並且在其上有最大值或最小值，那麼函數f是常數函數（參見複平面上函數的劉維爾定理）。

推廣

調和函數研究的一個推廣是黎曼流形上的調和形的研究，後者與上同調的研究有關。此外，可以定義調和的向量值函數，或者兩個黎曼流形間的調和映射。這些調和映射出現在最小表面理論中。比如說，一個從R上區間射到一個黎曼流形的映射是調和的若且唯若它是一條短程線。

參見

參考

L.C. Evans, 1998. Partial Differential Equations. American Mathematical Society.
D. Gilbarg, N. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. ISBN 3-540-41160-7.
Q. Han, F. Lin, 2000, Elliptic Partial Differential Equations, American Mathematical Society
解析函數與調和函數 2