正頻率與負頻率的概念,可以簡單用順時針或逆時針轉動的輪子來闡釋:頻率帶正負號,就能同時表示轉動方向和頻率大小,其大小用轉數每秒(赫茲)或弧度每秒作為單位(1轉為2π弧度)。

正弦波

ω為一非負參數,其單位為rad/sec(弧度每秒)。若角度φ隨時間t變化的關係式為φ(t) = -ωt + θ,則式中斜率為-ω,稱為負頻率。但是當該角度用作餘弦函數的參數時,其結果便與cos(ωtθ)沒有區別。同樣,sin(−ωt + θ)亦與sin(ωtθ + π)沒有區別。因此,任何正弦曲線皆能以正頻率來表示,相位斜率所帶有的正負號不再具有意義。

 
負頻率導致正弦函數(紫線)領先餘弦函數(紅線)1/4圈。
 
向量(cos t, sin t)以1 rad/sec的角速度逆時針旋轉,每2π秒轉一圈。向量(cos (-t), sin (-t)) 以相反方向旋轉(未顯示)。

但若同時觀察餘弦與正弦運算子時,便能確定頻率的符號,因為若ω > 0,則cos(ωt + θ)sin(ωt + θ)領先1/4圈(即π/2弧度);反之,若ω < 0,則落後1/4圈。同理,一個向量(cos t, sin t)以1 rad/sec的角速度逆時針轉動,每2π秒轉完一圈,而向量(cos (−t), sin (−t))則以另一個方向轉動。

複指數函數 亦保留ω的正負號:

      [1] 式1

因為實部R(t)與虛部I(t)能分別比較。雖然 組合了sin和cos兩個函數,所以似乎比兩者含有更多資訊,但通常理解其為更簡單的函數,因為

  • 它簡化了許多重要的三角運算。嚴格而言,  解析表示
  • 式1有以下推論:
  式2

所以,也可以將 理解成同時包含正負頻率,但其和事實上有互相抵銷,故其所含資訊是並非更多,反而更少。

應用

也許最為人熟知的負頻率應用在於運算式 :

 

此數測量的,是函數x在區間(a, b)的一段中,所含頻率ω成份的強度。若取區間為(−∞, ∞),對不同的ω求出 ,則得到函數X,稱為x傅立葉變換。一個簡單的解釋是,兩個正弦波的乘積也是正弦波,其頻率為原始頻率的總和。因此,當ω為正時,乘上 會使所有x(t)的頻率都減少ωx(t)恰好具有頻率ω的部分,將變為零頻率,即常數,而其振幅大小,即為其初始時頻率為ω的訊號強度。而x(t)處於零頻率的部分,則會變成頻率為-ω的正弦波。同樣,所有其他頻率,經減少ω後,仍是非零頻率。當區間(a,b)越來越長,常數的貢獻會與區間長度成正比,越來越大。但是正弦波項的貢獻,則僅會在零附近震盪。因此X(ω)作為在x(t)中頻率值ω的相對量度將會提高。

 的傅立葉轉換僅會在頻率為ω時產生一個非零響應。 的轉換於ω與-ω處皆具有響應,與式2預測的一樣。

正負頻率採樣和混疊

 
這張圖描述兩個複正弦波,分別為金色與青色曲線,其實部與虛部通過同一組取樣點。當以網格線標示的頻率(fs)採樣時,他們互相重合,但金色函數具有正頻率,因為其實部(餘弦函數)領先虛部1/4圈。反之,青色曲線則具有負頻率,因為其實部落後於虛部

註釋

  1. ^ 等式又稱為歐拉公式

參考資料

  • Positive and Negative Frequencies頁面存檔備份,存於互聯網檔案館
  • Lyons, Richard G. (Nov 11, 2010). Chapt 8.4. Understanding Digital Signal Processing (3rd ed.). Prentice Hall. 944 pgs. ISBN 0137027419.