超幾何函數

在數學中,高斯超幾何函數普通超幾何函數2F1(a,b;c;z)是一個用超幾何級數定義的函數,很多特殊函數都是它的特例或極限。所有具有三個正則奇異點英語Regular singular point的二階線性常微分方程的解都可以用超幾何函數表示。

超幾何級數

 為正整數時,對於|z| < 1,超幾何函數可用如下冪級數定義

 

其中  遞進階乘,定義為:

 

ab0或負整數時級數只有有限項,另有避免這種情況出現的正則超幾何函數。

對於滿足|z| ≥ 1 的複數z,超幾何函數可以通過將上述在單位圓內定義的函數沿着避開支點01的任意路徑做解析延拓來得到。具體的公式可以表示為

 

特殊情形

很多普通的數學函數可以用超幾何函數或它的極限表示出來,一些典型的例子如下:

 .
 
 

合流超幾何函數(Kummer函數)可以用超幾何函數的極限表示如下

 

因此,所有合流超幾何函數的特例,例如貝索函數都可以表示成超幾何函數的極限。

勒壤得函數是有3個正則奇異點的二階線性常微分方程的解,可以用以不同的形式用超幾何函數表示,例如

 

很多多項式,例如賈可比多項式 P(α,β)
n
及其特殊情形勒壤得多項式, 車比雪夫多項式, Gegenbauer多項式都能用超幾何函數表示

  其它特殊情形還包括Krawtchouk多項式, Meixner多項式, Meixner–Pollaczek多項式

橢圓模函數英語Elliptic modular function有時能表示成參數a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超幾何函數之比的反函數。例如,若

 

 

τ的橢圓模函數.

不完整的beta函數 Bx(p,q) 表示成

 

完整的橢圓積分 KE 如下給出

 
 

超幾何方程

超幾何函數滿足的微分方程稱為超幾何方程,其形式為(參見廣義超幾何函數)

 .

展開後,得

 

它有三個正則奇異點:0, 1, ∞.

正則奇異點 0 附近的解

超幾何方程的指標方程英語Frobenius method

 

它的兩個指標 ρ 是 0 和 1-c

c不是整數時,超幾何方程在 0 附近的兩個線性無關的正則特解為:

 

c 為 1 時,方程只有一個正則解。當 c 為其餘整數時,另一個線性無關的正則特解涉及對數項。

事實上,當 c 為整數時,另一個線性無關的特解總可以選取為 Meijer G-函數

 
 

正則奇異點 1 附近的解

只需作代換 t=1-z,方程變為:

 

a+b-c 不是整數時,兩個線性無關的正則特解為:

 

正則奇異點 ∞ 附近的解

a-b 不是整數時,兩個線性無關的正則特解為:

 

李代數參數與連接關係

在討論超幾何方程的解的連接關係的時候,採用另外一套參數[1]會更加方便。這組參數是根據方程在三個正則奇異點處的指標之差來定義的。

 
 
 

參數 α,β,γ 稱為李代數參數。

運用李代數參數,超幾何方程在三個正則奇異點處的正則解可以分別表示為:

 
 
 

從上面的表達式可見,李代數參數比起通常用的參數 a,b,c 的優勢在於能夠體現不同區域的解之間的對稱性。

引入記號:

 
 

則超幾何方程在不同區域的解的連接關係可以表示為:

 
 
 
 

分別對比兩組式子最後一個等號之後的部分,可以看出每組的兩個式子之間的對稱性。

完整的連接關係表稱為 Kummer 表,上面四式是 Kummer 表的一部分。

積分表示

 

式中的 Β 是beta函數

證明

可以證明等號右邊的表達式是超幾何方程的解。再考慮這個解在 z=0 附近的性質,可以確定它的具體形式。

 

 
 

上式中的第二、三個等號可以通過直接展開大括號內的多項式乘積得到。上式兩邊分別對 t 從 1 到無窮大進行積分,等號右邊為 0,於是我們證明了上面的積分表達式的確是超幾何方程的解。

另一方面,利用二項式定理,積分表達式等號右邊的部分可以按 z 展開成冪級數,故可知等號右邊應取 C 2F1(a,b,c;z) 的形式(因為另一個線性無關的特解無法展開成冪級數),其中 C 為待定的常數。

對比積分表達式在 z=0 處的值與 Β 函數的定義,即可確定常數 C

轉換公式

分式線性轉換

Pfaff 轉換

Pfaff 轉換將正則奇異點 1 和 ∞ 交換(也就是將李代數參數中的 βμ 對換):

 

a,b 的對稱性自然有:

 
證明

Pfaff 轉換可以根據超幾何方程得到。事實上,令

 

 
 

 

w(u) 滿足的超幾何方程知等號右邊為 0,再考慮函數 (1-z)-bw(z)z=0 附近的性質即可得到 Pfaff 轉換的公式。

Euler 轉換

Pfaff 轉換可以導出 Euler 轉換,它將李代數參數 β 變成 -β

 

Pfaff 轉換和 Euler 轉換都是分式線性轉換的例子,這得名於等式兩邊的超幾何函數的宗量的聯繫,參見莫比烏斯轉換

上面提到的四個連接關係與 Pfaff 轉換及 Euler 轉換組合起來,就得到完整的 Kummer 表。

給定一組李代數參數(α,β,μ),(±α,±β,±μ) 及其輪換對應着 24 個不同但彼此關聯的超幾何函數(Fα,β,μ 恆等於 Fα,β,),利用前面提到的四個連接關係和 Pfaff 轉換,它們中的任意一個可以通過任意另外兩個表出。

例如 Euler 轉換可以表示為:

 

二次轉換

下面是一個二次轉換的例子:

 

二次轉換得名於等號兩邊超幾何函數宗量的聯繫(一個二次函數和一個莫比烏斯轉換的組合)。

證明

仿照上面 Pfaff 轉換的證明,有:

 

 

 
 

 

仿照上面關於 Pfaff 轉換的討論,可得二次轉換的公式。

其它例子

運用李代數參數,一般的二次轉換可以表示為

 

其中 f(z),g(z) 是 z 的函數, P(z) 表示 z 要滿足的約束。

下表給出了一些二次轉換。

李代數參數(左) 李代數參數(右)      
         
         
         

另外還有:

 

將它們與 Kummer 表組合起來,就得到所有的含有兩個獨立參變量的二次轉換關係式。例如上面的例子可以通過組合第一行中的轉換與 Pfaff 轉換得到。

另外還有一些只含有一個獨立參變量的二次轉換關係式。

三次及高次轉換

若一組李代數參數滿足下列條件:有兩個是 ±1/3,或者三個參數的絕對值相等,則有一個三次轉換的公式將它與另一個超幾何函數聯繫起來。

另外有一些 4 次和 6 次轉換的公式。其它次數的轉換公式只有當參數取特定有理數值時存在。參見Goursat (1881)

特殊值

z=0

 

z=1

 

這稱為高斯原理(Gauss's theorem),可以由超幾何函數的積分表示得到。范德蒙恆等式是它的特殊情形。

z=-1

 

這可以通過組合上表中的第二個二次轉換和 Pfaff 轉換,並利用 z=1 時的特殊值得到。

z=1/2

 
 

上面兩式分別被稱為高斯第二求和原理與 Balley 原理。它們都可以通過組合第三個二次轉換和 Pfaff 轉換,並利用 z=1 時的特殊值得到。

參考文獻

  1. ^ Dereziński, Jan. Hypergeometric type functions and their symmetries. arXiv:1305.3113 .