遞進階乘與遞降階乘

數學中,階乘冪(英語:Factorial power)是基於自然數數列積的一種運算,分為遞進階乘(英語:Rising factorial)和遞降階乘(英語:Falling factorial),或稱上升階乘下降階乘

定義

遞進階乘與遞降階乘有多種書寫方式。

里奧·珀赫哈默爾英語Leo August Pochhammer引進的珀赫哈默爾符號(Pochhammer symbol)是常用的一種,分別為  

一種較為少見的寫法將遞進階乘記作  

葛立恆高德納奧倫·帕塔什尼克英語Oren Patashnik在《具體數學》一書中,則引進符號   

遞進階乘

組合學特殊函數理論中,遞進階乘用於表達上升自然數數列的,定義為

 

遞降階乘

組合學中也常用遞降階乘:

 

另外,值得一提的是遞降階乘實際上是排列  ,詳見排列

兩者的關係

遞進階乘與遞降階乘,兩者之間的關係為:

 

它們與階乘的關係為:

 

擴展

零次冪

零次冪的遞進階乘與遞降階乘都定義為空積 1 :

 

實數

運用伽瑪函數,階乘冪的定義域可以擴展到實數

遞進階乘的定義變為

 

遞降階乘則為

 

特性

遞進階乘與遞降階乘都能以二項式係數形式表達:

 
 

於是二項式係數適用的許多性質都適用於遞進階乘與遞降階乘。


顯然,遞進階乘與遞降階乘作為 n 個連續整數的積,它定能被 n 整除,即

 
 


n=4 ,遞進階乘與遞降階乘必定能表達為一個完全平方數減1,即

 
 


遞進階乘與遞降階乘遵從一個類似二項式定理的規則:

 
 

其中係數為二項式係數


因為遞降階乘是多項式環的基礎,我們可以將遞降階乘的積表示為遞降階乘的線性組合:

 

等式右邊的係數則為二項式係數

一般化

階乘冪能一般化至任意函數和公差:

 
 

使用這個記號,原來的遞進階乘與遞降階乘便記作   

與亞微積分的關係

差分方程里常使用遞降階乘。其應用與微積分學中的泰勒定理非常相似,不過將微分替換為對應的差分。只是在差分中,遞降階乘   替代微分中的   例如:

 

 

這種相似性在數學中稱為亞微積分。亞微積分涵蓋如多項式二項式型謝費爾序列

程序實現

Mathematica

 [1]

參考文獻

  • Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
  • Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .

外部連結

  1. ^ Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].