二維雙極坐標系(英語:Bipolar coordinates)是一個正交坐標系。學術界上有三種常用的雙極坐標系[1]。除了在這裏討論的坐標系以外,另外兩種是非正交的雙心坐標系與雙角坐標系。
雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是
-等值曲線,藍色圓圈則是
-等值曲線。
這裏所要討論的雙極坐標系建立於阿波羅尼奧斯圓。
的等值曲線是圓圈。
的等值曲線也是圓圈。兩組圓圈互相垂直相交。雙極坐標系有兩個焦點
與
,其直角坐標
通常分別設定為
與
。所以,這兩個焦點都處於直角坐標系的 x-軸。
雙極坐標系是好幾種三維正交坐標系的原始模。往 z-軸方向延伸,則可得到雙極圓柱坐標系。繞着 x-軸旋轉,即可得到雙球坐標系。繞着 y-軸旋轉,就可得到圓環坐標系。
基本定義
雙極坐標的幾何詮釋。 與 的夾角 的弧度是 。 與 的比例的自然對數是 。 與 的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。
在二維空間裏,一個點 P 的雙極坐標 通常定義為
- ,
- ;
其中,點 的 坐標等於 的弧度, 坐標等於 與 的比例的自然對數
- 。
(回想 與 的坐標分別為 與 )。
等值曲線
不同 的等值曲線是一組不同圓心,而相交於兩個焦點 與 的圓圈:
-
它們的圓心都包含於 y-軸。正值 的圓圈的圓心都在 x-軸以上;而負值 的圓圈的圓心則在 x-軸以下。當絕對值 增加時,圓半徑會減小,圓心會靠近原點。當圓心與原點同點時, 達到最大值 。
不同 的等值曲線是一組圍着焦點,互不相交,不同半徑的圓圈。半徑為
- 。
它們的圓心都包含於 x-軸。正值 的圓圈在 半平面;而負值 的圓圈在 半平面。 曲線則與 y-軸同軸。當 值增加時,圓圈的半徑會減少,圓心會靠近焦點。
逆變換
雙極坐標 可以用直角坐標 來表達。點 P 與兩個焦點之間的距離是
- ,
- 。
是 與 的比例的自然對數:
- 。
是兩條從點 P 到兩個焦點的線段 與 的夾角。這夾角的弧度是 。用餘弦定理來計算:
- ;
標度因子
雙極坐標 的標度因子相等:
- 。
所以,無窮小面積元素等於
- 。
拉普拉斯算子是
- 。
其它微分算子,例如 與 ,都可以用雙極坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系的一般方程式內。
應用
參閱
參考文獻
- H. Bateman "Spheroidal and bipolar coordinates", Duke Mathematical Journal 4 (1938), no. 1, 39–50。
- Lockwood, E. H. "Bipolar Coordinates." Chapter 25 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 186-190, 1967。
- Korn GA and Korn TM, (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill。
- ^ Weisstein, Eric W. (編). 雙極坐標系. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2008-04-21]. (原始內容存檔於2021-05-20) (英語).