A無窮代數

A無窮代數A-infinity algebra,或 -algebra)是吉姆·斯塔謝夫(Jim Stasheff)在1960年代研究H-空間的乘法的結合性時發現的一種代數結構,又稱為強同倫結合代數strongly homotopy associative algebra)。1970年代陳國才(K.-T. Chen)和T.V. Kadeishvili在一個流形的同調群上用不同的方法各自發現了一種A無窮代數結構。1990年代深谷賢治在研究辛流形拉格朗日Floer同調Lagrangian Floer Homology)時推廣了斯塔謝夫的概念,稱為A無窮範疇A-infinity category-category)。一般數學家把深谷的發現稱為深谷範疇Fukaya category)。

定義

 是數域 上的一個分次線性空間。 上的一個A無窮代數結構是一組映射

 的度數為 

滿足以下4組關係:

  1.  是一個微分,即 
  2.  是一個鏈映射,換言之 可以把 看成一個乘法,並且這個乘法能夠降到同調上去;
  3.  是乘法 關於結合律的同倫,即
     
    而是在同倫的意義下是結合的:
     
  4.  是高階同倫,即  的同倫,  的同倫等等,換言之
     

從上面的定義可以看出,對於一個A無窮代數,它的同調實際上形成一個結合代數。這也就是一個A無窮代數稱為強同倫結合代數的原因。

等價定義

如果讀者熟悉余代數的概念,那麼考慮 的元素度數降低1然後生成的張量代數,記為  上有一個自然的余積,為

 

從而使 成為一個上代數 上的一個A無窮代數結構就是 上的一個余導子coderivation 並且滿足 。關於這兩個定義的等價性證明可以參考下面 Markl-Shnider-Stasheff 的書。

詳解

Stasheff是怎樣得到A無窮代數的結構的呢?我們下面以一個具體的例子,同時也是Stasheff所考慮的原型來說明。設 是一個拓撲空間 為其上一點。記

 

稱為 環路空間based loop space)。在 上我們可以定義一種乘法,如下:任給 

 

回憶學習基本群的時候,我們都驗證過這樣的乘法並不是結合的,但在同倫意義下是結合的:不難構造這樣的同倫,記為 

 

使得 。對於 裏面的4個元素,我們有下面五種乘法,他們是相互同倫的,如下圖所示:

 

圖中1表示恆同映射。這樣我們就得到了一個以圓周 為參數的一串從  的映射。事實上因為這些映射的像都是重合的,因而我們實際上可以把這一串映射延拓到以 為邊的圓盤 上,即為同倫之間的同倫,記為 。如此一直進行下去,我們就得到 ,等等。在鏈水平上,我們把 對應的映射記為 ,則不難看出 就是滿足上面A無窮代數定義的那些算子。

例子

  1. 一個平凡的例子是,任何一個(微分分次)結合代數都是一個A無窮代數。這裏只要令 都等於0就行了。
  2. 除了Stasheff的例子和上面這個平凡的例子之外,陳國才和Kadeishvili利用流形的微分形式也構造了一些A無窮的例子,其中陳國才的構造更為深刻,成為有理同倫論rational homotopy theory)中一個重要的理論。給定一個流形,考慮它上面的微分形式,這是一個微分分次代數(differential graded algebra, DGA),同時我們還可以考慮它的上同調,賦以一個平凡的微分,則它也形成一個微分分次代數。但是這兩個微分分次代數不是鏈等價的!比如說,根據霍奇理論我們可以把上同調用調和形式作為代表,這種不等價性表現在兩個調和形式的外積不一定是調和的。根據霍奇分解,我們可以把這種乘積再投射到調和形式裏面去,但是這樣定義出來的乘法卻不再是結合的,但是在同倫的意義下結合。以此,我們實際上得到了一種A無窮代數。這就是陳國才和Kadeishvili以及後來研究者的基本思路,但是陳國才走的更遠,他實際上揭示了這種A無窮代數跟流形的環路空間的拓撲之間的關係,以及這些A無窮代數的在某些情況下的退化跟流形本身的一些拓撲障礙有關係,跟Sullivan後來研究流形的形式化formality英語formality)有相似之處。

科祖對偶和有理同倫論

Stasheff的A無窮代數的概念自然地出現在關於一般代數結構的分解(resolution)的理論中。給定一個代數結構,我們希望能夠通過對它的分解看清其中的結構(對比於流形,這樣分解就是波斯尼科夫塔)。這其中,所謂的科祖分解是一種非常有效的分解方式,而A無窮代數則非常自然地出現在結合代數的Koszul分解過程當中:對於一個結合代數,它的科祖分解有一個A無窮代數結構,而這個A無窮代數的科祖分解又是一個A無窮代數,如此不已。但是,原來的結合代數和兩次科祖分解後得到的A無窮代數實際上是鏈等價的,第二個分解和第四個分解也是如此,如此循環。這就是所謂的科祖對偶Koszul duality英語Koszul duality)的概念。

對於李代數交換代數,我們同樣可以進行科祖分解。一個李代數的科祖分解有一個C無窮代數(C是交換commutativity的英文縮寫)結構,而一個交換代數的科祖分解有一個李無窮代數結構。所謂李無窮代數和C無窮代數,正如A無窮代數一樣,他們的同調分別是李代數和交換代數。李代數和交換代數分別是一種特殊的李無窮代數和C無窮代數。由一個李代數經過科祖分解後到C無窮代數然後再經科祖分解到李無窮代數,所得的這兩個李無窮代數實際上是同倫等價的,對於交換代數也是如此。因此我們可以說,李代數和交換代數是相互科祖對偶的。這個結論實際上是奎倫在有理同倫論中發現的,他還證明,在有理係數下,這兩個代數組成的範疇都和拓撲中的有理同倫型rational homotopy type)組成的範疇是等價的(有一些單連通性條件)。後來 Sullivan通過考察流形的微分形式,得到了類似的結果,但是更幾何,更直觀。

A無窮範疇

考慮一個範疇 。對於其中的四個對象及其之間態射

 

我們有

 

這顯示了這些態射之間有一種結合性。一個A無窮範疇就是打破這些結合性,使之成為在同倫意義下是結合的,同時有高階同倫算子,成為同倫的同倫,同倫的同倫的同倫,等等。因此一個A無窮範疇並不是一個範疇,而是同倫意義下的範疇:它的「同調」形成一個範疇。

深谷在研究辛拓撲的時候發現了這個A無窮範疇的結構。給定一個辛流形,考慮其中的拉格朗日子流形Lagrangian submanifold)。對其中任意兩個拉格朗日子流形,考慮所謂的拉格朗日Floer鏈復形,形成所謂的態射。深谷發現這些態射之間可以定義乘法,但是這個乘法本身不結合但在同倫意義下結合,他並構造了高階同倫算子,使之成為一個A無窮範疇,現在稱為深谷範疇。

相關概念

  • B無窮代數 -algebra)
  • C無窮代數 -algebra)
  • E無窮代數 -algebra)
  • G無窮代數 -algebra)
  • 李無窮代數 -algebra)


參考文獻

Stasheff關於A無窮代數的構造見:

  • Stasheff, James Dillon, Homotopy associativity of $H$-spaces. I, II. Trans. Amer. Math. Soc. 108 (1963), 275-292; ibid. 108 1963 293-312.
  • Markl, Martin; Shnider, Steve; Stasheff, Jim, Operads in algebra, topology and physics. Mathematical Surveys and Monographs, 96. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002.

陳國才的 -代數的構造,並不是在文章中明顯給出的,但不難推導,見:

  • Chen, Kuo Tsai, Iterated path integrals. Bull. Amer. Math. Soc. 83 (1977), no. 5, 831-879.

Kadeishvili的文章發表於1980年,作者後來重新整理,題為On the homology theory of fiber spaces頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)。原文見:

  • Kadeishivili, T. V., On the theory of homology of fiber spaces. (Russian) International Topology Conference (Moscow State Univ., Moscow, 1979). Uspekhi Mat. Nauk 35 (1980), no. 3(213), 183-188.

關於Koszul對偶,最經典的文章見:

  • Ginzburg, Victor; Kapranov, Mikhail, Koszul duality for operads. Duke Math. J. 76 (1994), no. 1, 203-272.

Quillen的有理同倫論,見:

Sullivan的有理同倫論,見:

關於Fukaya範疇,見他的主頁頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)上的文章,以及

  • Fukaya, Kenji, Morse homotopy, $A\sp \infty$-category, and Floer homologies. Proceedings of GARC Workshop on Geometry and Topology '93 (Seoul, 1993), 1-102, Lecture Notes Ser., 18, Seoul Nat. Univ., Seoul, 1993.