Powerful p-群


數學群論中,特別在p-群pro-p-群的研究中,powerful p-群是一個起着重要作用的概念。這個概念是在(Lubotzky & Mann 1987)引入的,該文中並給出了幾個應用,包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究(Khukhro 1998),受限制的Burnside問題的解答(Vaughan-Lee 1993),以coclass猜想作出的有限p-群分類(Leedham-Green & McKay 2002),及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 (Dixon et al. 1991)。

正式定義

有限p-群 稱為powerful,於 為奇數時,若交換子子群 包含在子群 內,而於p=2時若 包含在子群 內。

powerful p-群的性質

powerful p-群有很多性質與阿貝爾群類似,所以可作為p-群研究的好的基礎。每個有限p-群可以表示為一個powerful p-群的section

powerful p-群也可用於研究pro-p,因為powerful p-群提供了簡單方法去描繪p-進解析群(在p-進數上為流形的群)的特性:一個有限生成pro-p群是p-進解析的,當且僅當這個群包含一個powerful的正規子群。這是Michel Lazard(1965)一個深刻結果的特例。

一些與阿貝爾p-群相似的性質有:若 是powerful p-群,則:

  •  Frattini子群 有性質 
  •  對所有 。就是以 次冪生成的群,正是 次冪的集合
  • 對所有 ,若 ,則 
  • 對所有  下中心序列的第k位有性質 
  • powerful p-群的每個商群都powerful。
  •  Prüfer秩等於 的生成元的最小數目。

一些不太像阿貝爾群的性質有:若 是powerful p-群,則

  •  是powerful。
  •  的子群不一定是powerful。

參考