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圓周率是一個數學常數，通常以字母π表示。在歐幾里得幾何中，它表示任何一個圓的周長與直徑之比。π是一個無理數，因此它的小數展開式永遠不會循環或窮盡。π也是一個超越數，即它不是任何整係數代數方程的根。在十進制中，圓周率的近似值約為：

\pi =3.1415926\ldots

數學家威廉·瓊斯首先在1707年從希臘文「周長」（περίμετρος）一詞中提取出字母π，用來表示圓周率。隨後萊昂哈德·歐拉於1737年將其推廣^[1]。π是數學和物理學中最重要的常數之一，大量的科學和工程學公式中都用到了π。縱觀數學歷史，曾經有大量的數學家為精確計算π，或了解其本質做出了貢獻。圓周率本身的魅力也因此延伸到了非數學的文化領域中。

基本特徵

定義

周長=π× 直徑

在歐幾里得幾何中，圓周率被定義為一個圓的周長與直徑的比值^[2]。這是一個與直徑大小無關的常數，即對於任何一個圓，總有下述成立：

\pi ={\frac {C}{d}}.

同樣，圓周率也可以定義為一個圓的面積與半徑平方的比值，即：

\pi ={\frac {S}{r^{2}}}.

上述定義僅限於歐幾里得幾何。因為在非歐幾何中，圓周率可能會大於或小於通常值。例如，在轉盤圓周率佯謬中，得到了周長與直徑之比大於π的結果^[3]。由於這些問題，數學家有時更願意使用脫離幾何學的定義方式。例如在分析學里，π可以嚴格地定義為滿足sin(x) = 0的最小正實數x^[4]。這一定義與上述方式是等價的。

無理性與超越性

化圓為方：求作一正方形，使其面積等於一給定圓的面積。1882年林德曼證明了此命題無法用尺規作圖完成。

π是一個無理數，即它不能被寫成兩個整數之比。這一性質最早由九世紀的阿拉伯數學家花剌子密提出^[5]。這一命題的證明由約翰·海因里希·蘭伯特在1768年完成^[6]。到了20世紀，數學家們找到了更多只需積分知識即可完成的證明。其中伊萬·尼雲提出的一個證法廣為流傳^[7]^[8]。

π也是一個超越數，即它不是任何一個整係數代數方程的根^[9]。它的證明由德國數學家費迪南·馮·林德曼於1882年給出。由此可以推出一個重要的結果：π不是規矩數。這意味着使用尺規作圖完成化圓為方的過程是不可能的。此後，德國數學家果爾丹在1893年將這一證明化簡為了初等證明^[10]。

小數表示

歷史

^[11]^[12]^[13]

各式各樣的數

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然數 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小數
 有限小數
 無限小數
 循環小數
 有理數 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
實數 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

負數 $\mathbb {R} ^{-}$
整數 $\mathbb {Z}$
負整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二進分數
 規矩數
 無理數
 超越數
 虛數 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整數 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元數
 四元數 $\mathbb {H}$
八元數 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英語：Dual quaternion）
超複數
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定義數
 序數
 超限數
 $p$ 進數
 數學常數

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

參考文獻

^ 圆周率的来历.
^ 圆周率、圆的面积. 楊老師在線.
^ 劉宇暉. 转盘佯谬分析 (PDF).
^ （英文）Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis 3e. McGraw-Hill. 1976: 183 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
^ （英文）Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematicsby Mustafa Mawaldi
^ （英文）Lambert, Johann Heinrich, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, Histoire de l'Académie, XVII (Berlin), 1761, XVII: 265–322 (1768)
^ （英文）Niven, Ivan. A simple proof that π is irrational (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1947, 53 (6): 509 [2007-11-04]. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2.
^ （英文）Richter, Helmut. Pi Is Irrational. Leibniz Rechenzentrum. 1999-07-28 [2007-11-04].
^ （英文）Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04].
^ 陳仁政. 4.3 超越数时期对π的认识. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. 在Mathematische Annalen, 1893, Vol43上
^ （英文）The Number Pi in the Bible.
^ 圆周率π的计算历程. 中國科學院自動化研究所.
^ 陳仁政. 第二章：圆周率的名称. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9.

外部連結

開放目錄專案中的「Digits of Pi」
A000796 Decimal expansions of Pi and related links at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Formulas for π at MathWorld
Representations of Pi at Wolfram Alpha
Pi at PlanetMath
Determination of π at Cut-the-knot
Statistical Distribution Information on PI based on 1.2 trillion digits of PI

[collier-1] 圆周率的来历.

[yang-2] 圆周率、圆的面积. 楊老師在線.

[3] 劉宇暉. 转盘佯谬分析 (PDF).

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[10] 陳仁政. 4.3 超越数时期对π的认识. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. 在Mathematische Annalen, 1893, Vol43上

[bible-11] （英文）The Number Pi in the Bible.

[12] 圆周率π的计算历程. 中國科學院自動化研究所.

[13] 陳仁政. 第二章：圆周率的名称. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9.

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