維基百科:臺灣教育專案/臺大物理系服務學習/112-2/固有長度

  關於宇宙學中的固有距離，請見「同移距離」。

固有長度 或 靜止長度 是指物體的靜止參考系中的物體長度。

在相對論中，測量距離比在經典力學中要複雜。在經典力學中，長度的測量基於假設所有相關點的位置同時被測量。但在相對論中，同時與否是取決於觀察者的。

另外一個術語，時空間隔提供了對任意觀察者而言皆相同的測量定義。

與固有長度類似的還有固有時間。二者的不同之處在於，固有長度定義在兩個類空（Spacelike）間隔事件之間，固有時間定義在兩個類時（Timelike）間隔事件之間。

固有長度或靜止長度

物體的固有長度或靜止長度是與被測量物體相對靜止的觀察者透過標準量尺所測得的物體長度。在靜止參考系中，物體端點不需同時被測量，因為在靜止參考系中物體端點始終靜止，因此長度測量與 Δt 無關。長度由下式給出：

$L_{0}=\Delta x.$

然而在與物體有相對速度的參考系中，物體的兩端點可能會移動，所以若想量得物體的長度，則需同時測量兩端點。最終量得的長度會相對物體的靜止長度短，其由長度收縮的關係式給出(式中γ為勞侖茲因子)：

$L={\frac {L_{0}}{\gamma }}.$

另外，兩個發生於物體兩端點的事件的時空間隔由下式給出：

$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}.$

可以看到Δσ取決於Δt，但物體的靜止長度L₀不取決於Δt，這導致只有在Δt於靜止參考系下為0時，也就是在靜止參考系下測量事件同時發生，在物體兩端點測量Δσ和L₀才會相等。如Fayngold所解釋

p. 407: 「注意到兩個事件之間的時空間隔通常不同於恰好與這兩事件重合的物體的固有長度。考慮一根有恆定固有長度l₀的實心棒。如果你在相對棒的靜止參考系K₀中，並且你想測量其長度，你可以先標記其兩端點。而且在 K0 中，並不需要同時標記這些端點。你可以現在標記一端（在時刻t₁），然後在K₀中稍後標記另一端（在時刻t₂），然後再測量標記之間的距離。我們甚至可以將這種測量方式視為固有長度的一種操作性定義。從實驗物理學的角度來看，對於形狀和大小恆定的靜止物體，同時標記端點的要求是多餘的，在這種情況下可以將此要求從這種定義中去除。由於棒在K₀中是靜止的，標記之間的距離是棒的固有長度，無論兩次標記之間的時間間隔如何。另一方面，如果標記不是在K₀中同時進行的，這些標記事件之間的距離就不是固有距離。」

平直空間中兩事件間的時空間隔

在狹義相對論中，當測量事件在慣性參考系中同時發生，兩個類空間隔的事件的時空間隔即是兩事件間的距離。在此情形下，距離由下式給出：

$$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}},$$

此處

• Δx、Δy和Δz是兩事件在線性正交的三維空間中的空間座標差。

這個定義可以透過下式等效的被推廣到所有慣性參考系(不要求兩事件同時發生)：

$$\Delta \sigma ={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}},$$

此處

• Δt是兩事件的時間座標差
• c是光速

由於時空間隔的不變性，並且當兩事件同時發生，Δt = 0，上兩式是等價的。

兩個事件是類空間隔的，若且唯若上式的Δσ是正實數。

路徑的時空間隔

上述計算兩個事件之間時空間隔的公式假設兩事件發生的時空是平坦的。因此，上述公式一般不能用於考慮彎曲時空的廣義相對論。然而，可以在任何時空中定義沿着路徑的固有距離，無論是平坦的還是彎曲的。在平坦時空中，兩個事件之間的時空間隔是沿着兩個事件之間的直線路徑的時空間隔。但在彎曲時空中，兩個事件之間可能存在多條直線路徑（測地線），因此，沿着直線路徑的時空間隔並不能唯一地定義兩個事件之間的時空間隔。

任意類空路徑P的時空間隔透過曲線積分寫成以下張量形式

$$L=c\int _{P}{\sqrt {-g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}},$$

此處

• g_μν 是該處時空座標的度規張量
• dx^μ 是路徑P上相鄰事件的 座標間隔

在上述方程中，度量張量採用+---度規記號，並假設其積分後的因次是時間而不是距離。若度量張量使用-+++度規記號，則應去掉式中的負號。此外，如果積分後的因次是距離，或使用幾何化單位，則應去掉方程中的$c$。

相關條目

• 時空
• 原時
• 同移距離
• 相對同時