不變因子

數學中，不變因子是λ-矩陣理論中的概念。不變因子定義為λ-矩陣的若爾當標準型中主對角線上出現的非零元素。對矩陣進行初等變換不會影響不變因子，所以兩個等價的矩陣擁有相同的不變因子。在不變因子的概念上可以進一步定義初等因子的概念。

定義

λ-矩陣是以不定元λ的多項式作為元素的矩陣。例如：

A(\lambda )={\begin{bmatrix}a_{11}(\lambda )&a_{12}(\lambda )&\cdots &a_{1n}(\lambda )\\a_{21}(\lambda )&a_{22}(\lambda )&\cdots &a_{2n}(\lambda )\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(\lambda )&a_{n2}(\lambda )&\cdots &a_{nn}(\lambda )\end{bmatrix}}.

經過各種初等變換，一個λ-矩陣可以變換為矩陣的標準形。形如：

A(\lambda )\Rightarrow {\begin{bmatrix}d_{1}(\lambda )&\;&\;&\;&\;&\;&\;\\\;&d_{2}(\lambda )&\;&\;&\;&\;&\;\\\;&\;&\ddots &\;&\;&\;&\;\\\;&\;&\;&d_{r}(\lambda )&\;&\;&\;\\\;&\;&\;&\;&0&\;&\;\\\;&\;&\;&\;&\;&\ddots &\;\\\;&\;&\;&\;&\;&\;&0\end{bmatrix}}.

其中r 是矩陣的秩，並且每個多項式 $d_{i}(\lambda )$ 整除 $d_{i+1}(\lambda )$ 。

若 $1\leq k\leq \mathrm {R} (A(\lambda ))$ ，定義矩陣 $A(\lambda )$ 全部非零k階子式的最大首一公因式為矩陣 $A(\lambda )$ 的k階行列式因子，那麼高階的行列式因子必然是低階的行列式因子的倍數。可以證明，初等變換不改變各階行列式因子，所以等價的矩陣擁有相同的各階行列式因子。然而，通過初等變換，總是可以將一個λ-矩陣變為只有對角線上有非零元素的標準形。所以，為了研究各階的行列式因子，只需要看矩陣的標準形中所顯示的信息就可以了。

在標準型中，可以看出，當 $k>r$ 時，行列式因子必然是0。當 $k\leq r$ 的時候，行列式因子是前k 行k 列構成的子式：

D_{k}(\lambda )=d_{1}(\lambda )d_{2}(\lambda )\cdots d_{k}(\lambda )

所以，反過來有：

d_{1}(\lambda )=D_{1}(\lambda )

d_{i}(\lambda )={\frac {D_{i}(\lambda )}{D_{i-1}(\lambda )}}\qquad (i\geq 2)

也就是說，λ-矩陣的標準形是唯一的。從而可以定義：

一個λ-矩陣的不變因子是其標準形中主對角線上的元素： $d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda )$ 。

初等因子

初等因子的定義建立在不變因子上。設某個矩陣的不變因子是： $d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda )$ ，那麼將這些不變因子在複數域上分解成一次多項式的乘積：

d_{1}(\lambda )=(\lambda -x_{11})^{c_{11}}(\lambda -x_{12})^{c_{12}}\cdots (\lambda -x_{1m})^{c_{1m}}

d_{2}(\lambda )=(\lambda -x_{21})^{c_{21}}(\lambda -x_{22})^{c_{22}}\cdots (\lambda -x_{2m})^{c_{2m}}

\vdots

d_{r}(\lambda )=(\lambda -x_{r1})^{c_{r1}}(\lambda -x_{r2})^{c_{r2}}\cdots (\lambda -x_{rm})^{c_{rm}}

其中的 $c_{ij}$ 是一次多項式出現的次數。如果有某個 $c_{ij}>0$ ，那麼對應的多項式 $(\lambda -x_{ij})^{c_{ij}}$ 就稱為矩陣的初等因子。一個矩陣的所有初等因子合稱為它的初等因子組。值得注意的是同一個初等因子可以重複出現在初等因子組中，重複的次數是它在以上表達式中出現的次數。

從一個矩陣的不變因子可以確定出這個矩陣的所有初等因子。反之，從一個矩陣的初等因子組也可以反推出矩陣的所有不變因子。具體做法是：將具有相同因子的初等因子根據冪次的大小從高到低排成一排，如果不夠的話用1補足，這樣會得到若干排多項式，每排的個數是r 個。接下來將每排最右邊的多項式全部乘起來，就得到 $d_{1}$ ，將每排右數第二個多項式全部乘起來，就得到 $d_{2}$ ，等等。以此類推，就可以得到所有的不變因子。