仿射密碼

仿射密碼是一種替換密碼。它是一個字母對一個字母的。

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O

展示 17x+5 的仿射密碼。首先字母被轉換成介於0到25的數字，下一步對每個套用 17x+5，結果再取除26後的餘數，最後再轉回字母。

它的加密函數是 $e(x)=ax+b{\pmod {m}}$ ，其中

$a$ 和 $m$ 互質。
$m$ 是字母的數目。

解碼函數是 $d(x)=a^{-1}(x-b){\pmod {m}}$ ，其中 $a^{-1}$ 是 $a$ 在 $\mathbb {Z} _{m}$ 群的乘法逆元。

仿射密碼 為單表加密的一種，字母系統中所有字母都藉一簡單數學方程加密，對應至數值，或轉回字母。其仍有所有替代密碼之弱處。所有字母皆藉由方程 $(ax+b)\mod (26)$ 加密， $b$ 為移動大小。

介紹

於仿射加密中，大小為 $m$ 之字母系統首先對應至 $0..m-1$ 範圍內之數值，接着使用模算數來將原文件中之字母轉換為對應加密文件中的數字。單一字母的加密函數為

{\mbox{E}}(x)=(ax+b)\mod {m},

取餘 $m$ 為字母系統大小且 $a$ 和 $b$ 為密碼關鍵值。 $a$ 之值必須使得 $a$ 與 $m$ 互質. 解密方程為

{\mbox{D}}(x)=a^{-1}(x-b)\mod {m},

此處 $a^{-1}$ 為 $a$ 取模 $m$ 之模反元素 of I.e., 滿足等式

1=aa^{-1}\mod {m}.

$a$ 之乘法逆元素僅存在於 $a$ 與 $m$ 互質條件下。由此，沒有 $a$ 的限制，可能無法解密。易知解密方程逆於加密方程。

{\begin{aligned}{\mbox{D}}({\mbox{E}}(x))&=a^{-1}({\mbox{E}}(x)-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(((ax+b)\mod {m})-b)\mod {m}\\&=a^{-1}(ax+b-b)\mod {m}\\&=a^{-1}ax\mod {m}\\&=x\mod {m}.\end{aligned}}

弱處

因爲仿射密碼仍爲單字母表密碼, 其依舊保留了該類別加密之弱處。當 $a=1$ ，仿射加密為凱撒密碼，因該加密方程可簡化為線性移動。考慮加密英文。(即： $m=26$ )，不計26易凱薩密碼，總共有286非易仿射密碼。此數值是由於小於26之數中有12數與26互質。 ( $a$ 的可能值). $a$ 的每個值可有26互異之加法移動( $b$ 之值); 因此，共有 12*26 或 312 可能之關鍵值。因為密碼缺少複雜性，根據柯克霍夫原則，這套系統是不安全的。

此密碼之首要弱處為，如果密碼學家可發現(如頻率分析, 暴力破解, 臆測或任何其他方法) 加密文件兩字元之原文，則關鍵值可透過解一方程組得到。由於我們知道 $a$ 及 $m$ 互質，這個事實可被用於快速破解密碼。

仿射密碼中同種的轉換使用於線性同餘方法，為偽隨機數生成器中的一種。此產生器不為密碼學安全偽隨機數生成器，因仿射加密不安全。

範例

在以下一加密一解密的例子中，字母為從Ａ至Ｚ，且在表格中都有對應值。

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

加密

在加密範例中，^[1] 使用前述表格中各字母對應之數值可知欲加密的原文件為 "AFFINE CIPHER" ， $a$ 對應5, $b$ 對應 8, 而 $m$ 對應 26 （因共使用26字母）。其中 $a$ 之值必須與 $m$ 的值26互質，所以其所有可能值包含1、3、5、7、9、11、15、17、19、21、23、25。若 $a\neq 1$ ，則 $b$ 之值可隨機選定（因為b只讓密文值平移而已）。所以，此加密範例的函數為 $y=E(x)=(5x+8){\pmod {26}}$ . 加密訊息的首步即為寫出每個字母的數字值。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17

現在，取x各值並解等式的第一部份， $(5x+8)$ 。得出各字母對應 $(5x+8)$ 的值後，取其對26的餘數。以下表格為加密的首四步驟。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
$5x+8$	8	33	33	48	73	28	18	48	83	43	28	93
$(5x+8){\pmod {26}}$	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15

加密訊息的最後一部，為查表求得對應字母的數值。在此範例中，加密文本應為 IHHWVCSWFRCP。以下表格顯示仿射加密一訊息的完整表格。

原始文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R
x:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
$5x+8$	8	33	33	48	73	28	18	48	83	43	28	93
$(5x+8){\pmod {26}}$	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15
加密文件:	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P

解密

於此解密範例中，欲解密之加密文件來自加密範例。其解密方程為 ${\mbox{D}}(y)=21(y-8){\mbox{ mod }}26$ ，經過計算， $a^{-1}$ 為 21, $b$ 為8, $m$ 為 26。伊始之時，寫下加密文件中對應各字母之數值，如以下表格所示：

密文:	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P
y:	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15

下一步，計算 $21(y-8)$ ，再取結果除以26的餘數。以下表格顯示兩者計算後的結果。

密文:	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P
y:	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15
21(y-8):	0	-21	-21	294	273	-126	210	294	-63	189	-126	147
(21(y-8)) mod 26:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17

解密的最後一部，藉由表格將數值轉回字母。解密的原始文件為 AFFINECIPHER。以下為完成解密後的表格：

加密文件：	I	H	H	W	V	C	S	W	F	R	C	P
y:	8	7	7	22	21	2	18	22	5	17	2	15
21(y-8):	0	-21	-21	294	273	-126	210	294	-63	189	-126	147
(21(y-8)) mod 26:	0	5	5	8	13	4	2	8	15	7	4	17
原文件:	A	F	F	I	N	E	C	I	P	H	E	R

全數字母加密

為求加解密更快速，可加密全數字母以將原文件之字母一對一對應至加密文件。此範例中，一對一映射如下：

原文件中字母	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
原文件中數字	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25
(5x+8)mod(26)	8	13	18	23	2	7	12	17	22	1	6	11	16	21	0	5	10	15	20	25	4	9	14	19	24	3
加密文件字母	I	N	S	X	C	H	M	R	W	B	G	L	Q	V	A	F	K	P	U	Z	E	J	O	T	Y	D

程式實例

用 Python 程式語言，以下代碼可用於加密羅馬字母Ａ至Ｚ。

# 列印仿射密碼的字母表。
# a必須與m互質
def affine(a, b):
    for i in range(26):
        print chr(i+65) + ": " + chr(((a*i+b)%26)+65)

# 調用函數的例子
affine(5, 8)

或者以Java作例:

public void Affine(int a, int b){
	    for (int num = 0; num < 26; num++)
	      System.out.println(((char)('A'+num)) + ":" + ((char)('A'+(a*num + b)% 26)) );
	}
Affine(5,8)

或於 Pascal:

Procedure Affine(a,b : Integer);
  begin
    for num := 0 to 25 do
      WriteLn(Chr(num+65) , ': ' , Chr(((a*num + b) mod 26) + 65);
  end;

begin
  Affine(5,8)
end.

在 PHP的實現:

function affineCipher($a, $b) {
    for($i = 0; $i < 26; $i++) {
        echo chr($i + 65) . ' ' . chr(65 + ($a * $i + $b) % 26) . '<br>';
    }
}

affineCipher(5, 8);

參見

仿射變換
凱撒密碼： $a=1$ 的特殊情況
Atbash code
ROT13

參考文獻

^ Kozdron, Michael. Aﬃne Ciphers (PDF). [22 April 2014]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-04-09）.

外部連結

在線仿射密碼計算器^{[永久失效連結]} （英文）

[1] Kozdron, Michael. Aﬃne Ciphers (PDF). [22 April 2014]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-04-09）.

[1]

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O

A	0	5	5	F
B	1	22	22	W
C	2	39	13	N
D	3	56	4	E
E	4	73	21	V
F	5	90	12	M
G	6	107	3	D
H	7	124	20	U
I	8	141	11	L
J	9	158	2	C
K	10	175	19	T
L	11	192	10	K
M	12	209	1	B
N	13	226	18	S
O	14	243	9	J
P	15	260	0	A
Q	16	277	17	R
R	17	294	8	I
S	18	311	25	Z
T	19	328	16	Q
U	20	345	7	H
V	21	362	24	Y
W	22	379	15	P
X	23	396	6	G
Y	24	413	23	X
Z	25	430	14	O