佐恩引理

佐恩引理（Zorn's Lemma）也被稱為庫拉托夫斯基-佐恩（Kuratowski-Zorn）引理，是集合論中一個重要的定理，其陳述為：

在任何一非空的偏序集中，若任何鏈（即全序的子集）都有上界，則此偏序集內必然存在（至少一枚）極大元。

佐恩引理是以數學家馬克斯·佐恩的名字命名的。

具體來說，假設 $(P,\leq )$ 是一個偏序集，它的一個子集 $T$ 稱為是一個全序子集，如果對於任意的 $s,t\in T$ 有 $s\leq t$ 或 $t\leq s$ 。而 $T$ 稱為是有上界的，如果 $P$ 中存在一個元素 $u$ ，使得對於任意的 $t\in T$ ，都有 $t\leq u$ 。在上述定義中，並不要求 $u$ 一定是 $T$ 中的元素。而一個元素 $m\in T$ 稱為是極大的，如果 $x\in T$ 且 $x\geq m$ ，則必然有 $x=m$ 。

佐恩引理、良序定理和選擇公理彼此等價，在集合論的策梅洛-弗蘭克爾公理基礎上，上述三者中從任一出發均可推得另外兩個。佐恩引理在數學的各個分支中都有重要地位，例如在證明泛函分析的哈恩-巴拿赫定理，證明任一向量空間必有基，拓撲學中證明緊空間的乘積空間仍為緊空間的吉洪諾夫定理，和抽象代數中證明任何含么環的真理想必然包含於一個極大理想和任何域必然有代數閉包的過程中，佐恩引理都是關鍵。

應用舉例

佐恩引理的一個典型應用是證明任何一個環 $R$ 必然有極大理想。用 $P$ 來表示 $R$ 的所有真理想（即 $R$ 的所有雙邊理想，且該理想是 $R$ 的真子集）。在 $P$ 中引入一個偏序，定義為集合的包含關係，那麼 $P$ 中必然有一個極大元素，並且這個元素是 $R$ 的真子集，從而 $R$ 有一個極大理想。

為了應用佐恩引理，需要證明 $P$ 的任何一個全序子集 $T$ 都有一個上界，即存在一個理想 $I$ 滿足 $I\subsetneq R$ 並且 $I$ 比 $T$ 中任何一個元素都大。現取 $I$ 為 $T$ 中所有理想的並。可以證明， $I$ 是一個理想：如果 $a$ 和 $b$ 是 $I$ 中的兩個元素，那麼必然存在 $T$ 中兩個理想 $J,K\in T$ 滿足 $a\in J,b\in K$ 。注意 $T$ 是一個全序集，所以必然有 $J\subset K$ 或者 $K\subset J$ ，從而有 $a,b\in J$ 或 $a,b\in K$ 。無論是哪種情況，均有 $a+b\in I$ 。而且，對於任何 $r\in R,a\in I$ 都可以證明 $ar,ra\in I$ 。由此， $I$ 是 $R$ 的一個理想。

現在考慮證明的核心部分：利用 $I=R$ 充要於 $1\in I$ ，可以證明 $I$ 一定是 $R$ 的真子集。因為如果 $1\in I$ ，那麼必然有某個 $J\in T$ 滿足 $1\in J$ ，這意味着 $J=R$ 。但 $R\notin P$ ，從而 $R\notin T$ ，矛盾。

這樣，利用佐恩引理， $P$ 必然包含一個極大元，而這個元素就是 $R$ 的一個極大理想。

注意這個結論只在 $R$ 是單位環的時候成立，在 $R$ 不是單位環的情形下，一般而言這個結論是不成立的。

從選擇公理證明佐恩引理的思路

假設佐恩引理不成立，那麼存在一個非空的偏序集 $(P,\leq )$ ，使得它的任何一個全序子集都有上界，但 $P$ 中任何元素都不是極大元素。然後，對於任何一個全序子集 $T$ ，可以定義一個相對應的元素 $b(T)$ ，使其嚴格大於 $T$ 的任意元素，因為 $T$ 有一個上界， $P$ 中又必然存在一個元素嚴格大於這個上界。為了確實地定義函數 $b$ ，我們需要用到選擇公理。

利用函數 $b$ ，可以構造 $P$ 的一個全序子集 $a_{0}<a_{1}<\dots$ ，這裏作為下標的指標集不僅可以是自然數，也可以是序數。事實上，所有序數組成一個真類，粗略地說，可以認為序數的數目大於任何集合的基數， $P$ 也不例外。所以這個序列終會窮盡，這樣就導出了矛盾。

上述的序列可以利用超限歸納法構造： $a_{0}$ 可以選擇為 $P$ 中任意元素，而對於任意一個序數 $w$ ，定義 $a_{w}=b(\{a_{v}\mid v<w\})$ ，注意 $a_{v}$ 是全序的，所以 $a_{w}$ 的定義是合理的。

事實上這個證明的結論略強於佐恩引理：

如果 $P$ 是一個偏序集，並且它的任何一個良序子集都有上界，那麼對於 $P$ 的任意元素 $x$ 而言， $P$ 中有一個大於等於 $x$ 的極大元。換言之，存在一個可以與 $x$ 比較的極大元。

我們也可以直接應用選擇公理證明佐恩引理：

根據選擇公理，對於一個偏序集 $P$ 的所有非空子集 $X$ 在存在一個選擇函數 $f$ 使得 $f(X)\in X$ 。從 $P$ 本身開始：考慮 $p_{0}=f(P)$ ，如果 $p_{0}$ 是極大元素則終止，否則構造 $p_{1}=f(X)$ ，這裏 $X=\{x\in P|p_{0}<x\}$ ，如果 $p_{1}$ 是極大元素則終止，否則用相同的技術構造 $p_{2}$ 。

於是我們獲得了 $P$ 一個全序子集:

$p_{0}<p_{1}<p_{2}<...<p_{\omega }<\ldots$

根據假設上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素則終止，否則繼續上述步驟，最終總能夠窮盡 $P$

不過需要說明的是上述證明並沒有闡明為何最終能夠窮盡 $P$ ，是一個不夠嚴格的證明。見於 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一書。(可用Bourbaki fixed point theorem)

歷史

佐恩引理在1922年首先被庫拉托夫斯基所發現，1935年佐恩亦獨立地發現此結論。

參見

文獻

Wolk E S. SOME FORMS OF ZORN's LEMMA[J]. Canadian Mathematical Bulletin, 1983, 26(3): 365.