佩爾方程

若一個丟番圖方程具有以下的形式:

佩爾方程的動畫

正整數,則稱此二元二次不定方程為佩爾方程(英文:Pell's equation;德文:Pellsche Gleichung),以英國數學家約翰·佩爾英語John Pell (mathematician)命名。

完全平方數,則這個方程式只有平凡(實際上對任意的都是解)。對於其餘情況,拉格朗日證明了佩爾方程總有非平凡解。而這些解可由連分數求出。

佩爾方程的解

  的連分數表示: 的漸近分數列,由連分數理論知存在 使得(pi,qi)為佩爾方程的解。取其中最小的 ,將對應的 (pi,qi)稱為佩爾方程的基本解,或最小解,記作(x1,y1),則所有的解(xi,yi)可表示成如下形式:

 

或者由以下的遞迴關係式得到:

 
 

例子

標準型

 

首先根據根號7的漸進連分數表示,找出前幾項,察看(分子,分母)是否是一組解。

第一項:  不是解;
第二項:  不是解;
第三項:  不是解;
第四項:  是解。於是最小解是(8,3)。計算 的各次乘方,或者用遞推公式(不能直接得出某一項)就可以得到接下來的各組解
 
(x,y)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

非標準型

  • 對於方程 ,利用婆羅摩笈多-斐波那契恆等式找出方程解。
 

例如 有解(3,1)。

 時,有 

(r,s)=(8,3)、 (127,48)、 (2024,765)、 (32257,12192)、 (514088,194307)、 (8193151,3096720)、 (130576328,49353213) ......

(x,y)=(3,1)、 (45,17)、 (717,271)、 (11427,4319)、 (182115,68833)、 (2902413,1097009)、 (46256493,17483311) ......

  • 對於方程 ,兩邊乘上a,求出 的解。

例如 有解(1,1)。

  

 時,有 

(r,s)=(19,6)、 (721,228)、 (27379,8658)、 (1039681,328776)、 (39480499,12484830) ......

(z,y)=(5,1)、 (35,11)、 (155,49)、 (1325,419)、 (5885,1861)、 (50315,15911)、 (223475,70669) ......

(x,y)=(1,1)、 (7,11)、 (31,49)、 (265,419)、 (1177,1861)、 (10063,15911)、 (44695,70669) ......

與代數數論的聯繫

佩爾方程與代數數理論有緊密聯繫,因為公式 給出了環 (即二次域 )上的範數。因此(x,y)是佩爾方程的解當且僅 的範數是一,即是域上的一個單元。根據狄利克雷單位定理 的所有單元都可以表示為同一個基本單元的乘方形式。這就是說一個佩爾方程的所有的解都是一個基本解的乘方。單元總可以通過解一個類似佩爾方程而得到,但這時的基本解並不一定就是基本單元。

與切比雪夫多項式的聯繫

佩爾方程切比雪夫多項式有內在的聯繫:若Ti (x)和Ui (x)分別是第一類和第二類切比雪夫多項式的相應項,那麼它們是佩爾形式方程 的解。於是第一類和第二類切比雪夫多項式可以通過展開基本解的乘方得到。

 

進一步有:如果(xi,yi)是佩爾方程的第i個解,那麼

xi = Ti (x1)
yi = y1Ui - 1(x1)。

佩爾方程的最小解

n x y n x y n x y n x y
1 - - 33 23 4 65 129 16 97 62809633 6377352
2 3 2 34 35 6 66 65 8 98 99 10
3 2 1 35 6 1 67 48842 5967 99 10 1
4 - - 36 - - 68 33 4 100 - -
5 9 4 37 73 12 69 7775 936 101 201 20
6 5 2 38 37 6 70 251 30 102 101 10
7 8 3 39 25 4 71 3480 413 103 227528 22419
8 3 1 40 19 3 72 17 2 104 51 5
9 - - 41 2049 320 73 2281249 267000 105 41 4
10 19 6 42 13 2 74 3699 430 106 32080051 3115890
11 10 3 43 3482 531 75 26 3 107 962 93
12 7 2 44 199 30 76 57799 6630 108 1351 130
13 649 180 45 161 24 77 351 40 109 158070671986249 15140424455100
14 15 4 46 24335 3588 78 53 6 110 21 2
15 4 1 47 48 7 79 80 9 111 295 28
16 - - 48 7 1 80 9 1 112 127 12
17 33 8 49 - - 81 - - 113 1204353 113296
18 17 4 50 99 14 82 163 18 114 1025 96
19 170 39 51 50 7 83 82 9 115 1126 105
20 9 2 52 649 90 84 55 6 116 9801 910
21 55 12 53 66249 9100 85 285769 30996 117 649 60
22 197 42 54 485 66 86 10405 1122 118 306917 28254
23 24 5 55 89 12 87 28 3 119 120 11
24 5 1 56 15 2 88 197 21 120 11 1
25 - - 57 151 20 89 500001 53000 121 - -
26 51 10 58 19603 2574 90 19 2 122 243 22
27 26 5 59 530 69 91 1574 165 123 122 11
28 127 24 60 31 4 92 1151 120 124 4620799 414960
29 9801 1820 61 1766319049 226153980 93 12151 1260 125 930249 83204
30 11 2 62 63 8 94 2143295 221064 126 449 40
31 1520 273 63 8 1 95 39 4 127 4730624 419775
32 17 3 64 - - 96 49 5 128 577 51