同倫群

在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 $S^{n}$ 的情形，至今也沒有完整結果。

定義

設 $X$ 為拓撲空間而 $S^{n}$ 為 $n$ 維球面。選定基點 $a\in S^{n},x\in X$。定義 $\pi _{n}(X,x)$ 為 $[S^{n},X]$，也就是由保持基點的連續映射 $f:S^{n}\to X$ 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：$s_{1}\wedge \cdots \wedge s_{n}$ 表示 $(s_{1},\ldots ,s_{n})\in [0,1]^{n}$ 在商映射 $[0,1]^{n}\to [0,1]^{n}/\partial ([0,1]^{n})\simeq S^{n}$ 下的像。取 $S^{n}$ 的基點為 $a=0\wedge \cdots \wedge 0$。

注意到當 $n=0$ 時，$S^{0}=\{-1,1\}$ 而 $\pi _{0}(X,x)$ 的元素一一對應到 $X$ 的連通分支。

基本群的群運算

對於 $n\geq 1$，$\pi _{n}(X,x)$ 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：

$s:S^{n}\to S^{n}\vee S^{n}$

在此 $S^{n}\vee S^{n}$ 定義為將兩份 $S^{n}$ 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 $s$ 定義為

$s(x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n})={\begin{cases}x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (1-2x_{n}),&x_{n}\leq {\frac {1}{2}}\\x_{1}\wedge \cdots \wedge x_{n-1}\wedge (2x_{n}-1),&x_{n}\geq {\frac {1}{2}}\end{cases}}$

直觀來看，$s$ 的效應相當於將球面 $S^{n}$ 沿赤道掐扁。

給定 $f,g:I^{n}\to X$，我們定義 $f*g:=(f\sqcup g)\circ s$，由於 $f(a)=g(a)=x$，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 $f*g$ 僅依賴於 $f,g$ 的同倫類。

可以證明運算 $f,g\mapsto f*g$ 滿足群公理，其單位元素為常值映射 $\forall s\in S^{n},\;e(s)=x$。$\pi _{1}(X,x)$ 不外就是基本群；而當 $n\geq 2$ 時，$\pi _{n}(X,x)$ 是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合 $[S^{n},X]$ 等同於 $\pi _{n}(X,x)$ 在 $\pi _{1}(X,x)$ 作用下的軌道集。可見若 $\pi _{1}(X,x)\neq 0$，$[S^{n},X]$ 未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列

設 $p:E\to B$ 為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 $F$。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）：

$\cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to \pi (B)\to 1$

儘管這裏的 $\pi _{0}$ 只是個集合，而 $\pi _{1}$ 未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（$\pi _{n\geq 1}$ 的單位元、$\pi _{0}$ 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群

給定 $A\subset X$，可以定義相對同倫群 $\pi _{n}(X,A)$ 為映射 $f:(D^{n},S^{n-1})\to (X,x)$ 的同倫類，這意味着我們僅考慮滿足 $f(S^{n-1})=x$ 的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 $A$ 為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻

• Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002 [2008-04-15], ISBN 978-0-521-79540-1, （原始內容存檔於2012-02-20）