在數學 中，冪集公理 是公理化集合論 的Zermelo-Fraenkel公理 之一。
在Zermelo-Fraenkel公理的形式語言 中，這個公理讀做：
∀
A
,
∃
P
(
A
)
,
∀
x
:
x
∈
P
(
A
)
⟺
(
∀
y
:
y
∈
x
⟹
y
∈
A
)
{\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff (\forall y:y\in x\implies y\in A)}
或簡寫為：
∀
A
,
∃
P
(
A
)
,
∀
x
:
x
∈
P
(
A
)
⟺
x
⊆
A
{\displaystyle \forall A,\exists \;{{\mathcal {P}}(A)},\forall x:x\in {{\mathcal {P}}(A)}\iff x\subseteq A}
換句話說：
給定任何 集合 A ，有着 一個集合
P
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}
x ，x 是
P
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}
若且唯若 x 是A 的子集。通過外延公理 可知這個集合是唯一的。我們可以稱集合
P
(
A
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}
A 的冪集 。所以這個公理的本質是：
所有集合都有一個冪集。 冪集公理一般被認為是無可爭議的，它或它的等價命題出現在所有可替代的集合論 的公理化中。
冪集公理允許定義兩個集合
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
笛卡兒積 ：
X
×
Y
=
{
(
x
,
y
)
:
x
∈
X
∧
y
∈
Y
}
{\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}}
笛卡兒積是個集合因為
X
×
Y
⊆
P
(
P
(
X
∪
Y
)
)
{\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}
你可以遞歸定義 集合的任何有限 的搜集 的笛卡兒積：
X
1
×
⋯
×
X
n
=
(
X
1
×
⋯
×
X
n
−
1
)
×
X
n
{\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}}
注意笛卡兒積的存在性在不包含冪集公理的Kripke-Platek集合論
Paul Halmos, Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 本條目含有來自PlanetMath 《Axiom of power set 》的內容，版權遵守共享創意協議：署名-相同方式共享 協議 。
