廣義最小二乘法 （英語：generalized least squares，GLS ）是統計學 中的一個方法，當回歸模型中的殘差之間存在一定程度的相關性時，它可以被用於估計線性回歸模型中的未知參數。最小二乘法和加權最小二乘法可能需要提高統計效率並防止誤導性推論。GLS由新西蘭數學家亞歷山大·艾特肯（Alexander Aitken）於1935年首次描述。
在一個標準線性回歸 中，有數據組
{
y
i
,
x
i
j
}
i
=
1
,
…
,
n
,
j
=
2
,
…
,
k
{\displaystyle \{y_{i},x_{ij}\}_{i=1,\dots ,n,j=2,\dots ,k}}
因變量有：
y
≡
(
y
1
⋮
y
n
)
,
{\displaystyle \mathbf {y} \equiv {\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}},}
設計矩陣
X
≡
(
1
x
12
x
13
⋯
x
1
k
1
x
22
x
23
⋯
x
2
k
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
1
x
n
2
x
n
3
⋯
x
n
k
)
,
{\displaystyle \mathbf {X} \equiv {\begin{pmatrix}1&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1k}\\1&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2k}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n2}&x_{n3}&\cdots &x_{nk}\end{pmatrix}},}
k
{\displaystyle k}
i
{\displaystyle i}
y
{\displaystyle \mathbf {y} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
X
{\displaystyle \mathbf {X} }
方差矩陣
Ω
{\displaystyle \mathbf {\Omega } }
y
=
X
β
+
ε
,
E
[
ε
∣
X
]
=
0
,
Cov
[
ε
∣
X
]
=
Ω
,
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }},\quad \operatorname {E} [{\boldsymbol {\varepsilon }}\mid \mathbf {X} ]=0,\quad \operatorname {Cov} [{\boldsymbol {\varepsilon }}\mid \mathbf {X} ]={\boldsymbol {\Omega }},}
β
∈
R
k
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {R} ^{k}}
回歸係數 （regression coefficients），它們從回歸中預測得到。如果
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
y
−
X
b
{\displaystyle \mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {b} }
馬哈拉諾比斯距離 來預測
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}
β
^
=
argmin
b
(
y
−
X
b
)
T
Ω
−
1
(
y
−
X
b
)
=
argmin
b
y
T
Ω
−
1
y
+
(
X
b
)
T
Ω
−
1
X
b
−
y
T
Ω
−
1
X
b
−
(
X
b
)
T
Ω
−
1
y
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\boldsymbol {\beta }}}&={\underset {\mathbf {b} }{\operatorname {argmin} }}\,(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {b} )^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {X} \mathbf {b} )\\&={\underset {\mathbf {b} }{\operatorname {argmin} }}\,\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }\,\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {y} +(\mathbf {X} \mathbf {b} )^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {b} -\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {b} -(\mathbf {X} \mathbf {b} )^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {y} \,,\end{aligned}}}
β
^
=
argmin
b
y
T
Ω
−
1
y
+
b
T
X
T
Ω
−
1
X
b
−
2
b
T
X
T
Ω
−
1
y
,
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}={\underset {\mathbf {b} }{\operatorname {argmin} }}\,\mathbf {y} ^{\mathrm {T} }\,\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {y} +\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {X} \mathbf {b} -2\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {y} ,}
二次規劃 問題。目標函數的駐點出現在以下情況：
2
X
T
Ω
−
1
X
b
−
2
X
T
Ω
−
1
y
=
0
,
{\displaystyle 2\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {X} {\mathbf {b} }-2\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {y} =0,}
β
^
=
(
X
T
Ω
−
1
X
)
−
1
X
T
Ω
−
1
y
.
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\beta }}}=\left(\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {\Omega } ^{-1}\mathbf {y} .}
Ω
−
1
{\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{-1}}
![{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}+{\boldsymbol {\varepsilon }},\quad \operatorname {E} [{\boldsymbol {\varepsilon }}\mid \mathbf {X} ]=0,\quad \operatorname {Cov} [{\boldsymbol {\varepsilon }}\mid \mathbf {X} ]={\boldsymbol {\Omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/683642aa3b58460b7a5b540950bac4037f946511)
