弱解

數學中, 微分方程的弱解或廣義解是指對該方程中的微分可能不存在, 但是在某種精確定義的意義下滿足該方程的解. 對於不同種類的微分方程, 弱解的定義性質也可能不同. 一類最重要的弱解基於廣義函數的記號.

由於大量用於描述現實世界中現象的微分方程並不具有足夠的光滑的解, 從而求解此類方程只能使用弱形式. 即使在方程確實具有可微解的情況下, 首先證明弱解的存在性然後證明弱解足夠光滑是方便的.

一個具體的例子

作為弱解的說明, 考慮一階波動方程.

${\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad \quad (1)$

(其中的記號請參閱偏導數)其中 u = u(t, x) 是兩個實變量的函數. 假設 u 在歐式空間R²上連續可微 , 在方程的兩側同時乘以一個具緊支集的光滑函數 φ 並積分. 得到

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial t}}(t,x)\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial x}}(t,x)\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0.$

使用富比尼定理和分部積分, 該方程化為

$-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi }{\partial t}}(t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi }{\partial x}}(t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0.\quad \quad (2)$

以上的陳述表明:如果 u 連續可微, 方程 (1) 蘊含方程 (2). 弱解概念的關鍵在於存在函數 u 對任何 φ 滿足方程 (2), 而這樣的 u 可能不可微, 從而不滿足方程 (1). 該方程的一個簡單的例子是 u(t, x) = |t − x| . (容易證明 u 滿足方程 (2).) 方程 (2) 的解 u 被稱作方程 (1) 的弱解.

更一般的情況

當求解關於u的偏微分方程時, 可以利用所謂的測試函數 φ, 使得方程中關於 u 的任意階導數都轉化為關於φ的分部積分. 用這樣的方法, 可以得到原方程的不必可微的解.

上面的方法不只適用於波動方程. 事實上, 考慮在域Rⁿ上的開集'W'內定義的線性微分算子

$P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x)$

其中 (α₁, α₂, ..., α_n) 是某有限集Nⁿ上的多維下標變量, 並且係數 $a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}$ 關於 x 足夠光滑.

乘以緊支集上的光滑測試函數φ, 並作分部積分後, 微分方程 P(x, ∂)u(x) = 0 可以寫作

$\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

其中微分算子 Q(x, ∂) 滿足

$Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right].$

其中

$(-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$

總而言之, 如果原(強)問題是找到一個開集 W 上的|α'|階可微函數 u, 使得

$P(x,\partial )u(x)=0{\mbox{ for all }}x\in W$

(所謂的強解), 那麼可積函數 u 被稱作弱解如果

$\int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0$

對每個支集W上的光滑函數 φ均成立.

參考資料

• L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2