數列極限

序列的項“趨向於”何值

數列極限(英語:limit of a sequence)為某些數列才擁有的特殊值,當數列的下標越來越大的時候,數列的值也就越接近那個特殊值。

定義

極限的定義 — 取一複數數列  ,若有一複數   ,使得

「對於任意的正實數  ,存在自然數   ,使得任意的自然數  ,只要  ,則  

正式的邏輯語言來表示即

 

則稱數列 收斂 (convergent to   ),並記作

 

如果不存在這樣的複數  ,則稱  發散的(divergent)。

實數數列的極限

從上面的定義可以證明,對實數數列   來說,若

 

則其極限   一定為實數 ,因為假設   的虛部   的話,則對極限定義取   的話,會存在   ,使得任意的  ,只要  

 

這是矛盾的,所以根據反證法  ,即  

基本性質

唯一性

定理 — 若數列   的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29

證明

設數列   有兩個不相等的極限值 ,則根據假設,對任意的   ,存在  ,使任意  ,只要   就有

 
 

這樣根據三角不等式,對任意的   , 只要自然數   就有則

 

這樣的話,假設   會得到

 

這樣是矛盾的,故根據反證法  ,也就是  ,故極限唯一。 

有界性

定理 — 若數列 有極限,則存在正實數   ,使得對所有的自然數   都有  [1]:29-30

(即   有極限則必為有界數列)

證明

因為 有極限,假設有實數   滿足

 

這樣的話,對於   ,存在自然數  ,使得任意的自然數  ,只要  ,則

 

從而

 

這樣的話,令

 

就會有

 

故得証。 

根據實質條件的意義,上面的定理等價於「如果一個實數數列無界,則這個實數數列一定發散。」[1]:30

注意有界數列不一定有極限,如數列   是一個有界數列,但沒有極限。

但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。

保序性

定理 — 有實數數列    ,若

 
 

則「  」等價於「存在  使任何   只要   就有  」。[1]:30

證明

左至右

 ,則由前提假設,存在   使任何   只要   就有

 
 

從而

 

 

這樣取   ,左至右就得證。 

右至左

由前提假設,對任意的   ,存在   使任何   只要   就有

 
 
 

從而

 

故得證。 

  ,則

  1.  
  2.  
  3.  ,則 .

審斂法

其中一個判斷數列是否收斂的定理,稱為單調收斂定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。

柯西數列

參考文獻列表

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 華東師範大學數學系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

參看