數學形態學

數學形態學(Mathematical morphology) 是一門建立在格論拓撲學基礎之上的圖像分析學科,是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括:腐蝕膨脹開運算閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態學梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換等。

二值形態學

在二值形態學中,一個圖案被看做是  歐幾里得空間   或網格  子集

結構元素

在二值結構學中,結構元素為一個二值影像,作為分析影像時使用的「探針」,代表當處理影像上的某點時、要取出周圍的哪些點進行運算。[1]

以下是幾個常用的結構元素(將原圖寫作A、結構元素寫作B):

  • 待處理影像為二維類比影像  ,使用的結構元素B為一以原點為圓心、半徑為r的圓盤。
  • 待處理影像為二維類比影像  ,使用的結構元素B為一以原點為中心的3x3方形。
  • 待處理影像為二維類比影像  ,使用的結構元素B為一以原點為中心的十字形,或寫作 

基礎運算子

二值形態學的基礎運算子為具平移對稱性的、與閔可夫斯基和直接相關的運算子。基礎運算子包含膨脹、腐蝕,以及由前兩者組合而成的開運算、閉運算。

膨脹

膨脹(Dilation)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否探測到物件?」一個影像A經過結構元素B膨脹後的結果可寫為:[1]

 .

其中 ,代表結構元素平移x後的點集合,b是圖像B的元素的坐標。

另外也可寫為:

 .

同上,其中 是指二值影像A經過平移-b後新的點集合。

腐蝕

腐蝕(Erosion)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否全都有探測到物件?」一個影像A經過結構元素B腐蝕後的結果可寫為:[1]

 .

開運算、閉運算

開運算(Opening)閉運算(Closing)是使用相同結構函數的腐蝕與膨脹的組合:

開運算為先腐蝕再膨脹,

 .

閉運算為先膨脹再腐蝕

 .

基礎運算子的性質

  • 所有的運算子具有平移對稱性英語Translational_symmetry
  • 所有的運算子都是遞增的,例:如果  ,則   
  • 膨脹具有交換律,例: 
  • 膨脹具有結合律,例: ;另外腐蝕則為  
  • 如果B包含原點(0,0),則有  
  • 膨脹與腐蝕間的關係為: ,上標 代表補集,上標 代表對原點的點對稱集合。
  • 開運算與閉運算間的關係為: 
  • 膨脹對聯集分配律,例: ;腐蝕對交集有分配律,例: 
  • 膨脹與腐蝕為彼此的廣義逆運算  若且為若  
  • 開運算與閉運算是冪等的: 

歷史

數學形態學誕生於1964年,由當時國立巴黎高等礦業學校的馬瑟榮(G. Matheron)和賽拉(J. Serra)兩人共同奠定了其理論基礎。1968年4月法國楓丹白露數學形態學研究中心成立,巴黎礦業學院為中心提供了研究基地。

20世紀數學形態學的發展過程可大致分為:

  • 60年代的孕育和形成期
  • 70年代的充實和發展期
  • 80年代的成熟和對外開放期
  • 90年代至今的擴展期

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)

外部連結