無界算子

在數學中, 特別是泛函分析與算符理論, 無界算子的概念提供了用於處理微分算符, 量子力學中無界可觀測量等的一個抽象框架.

無界算子的名稱具有一定的誤導性，這是因為

「無界」有時可以被理解為 "無需有界"，或者說 "不一定有界"；
「算符」當被理解為「線性算符」（這和「有界算子」是相同的）；
算符的定義域為線性子空間, 不必為全空間；
線性子空間不必有界；一般被假定為稠密；
特殊情況下的有界算子，定義域被假定為全空間

不同於有界算子, 給定空間上的無界算子不構成代數，甚至不構成線性空間，這是因為每一個無界算子有各自的定義域。

「算子」通常指「有界線性算子」，但在以下內容中默認指「無界算子」。給定空間默認為希爾伯特空間，但可以擴展到巴拿赫空間與更有普遍性的拓撲向量空間。

歷史簡述

無界算子理論誕生於20世紀20年代晚期以及30年代早期，作為量子力學嚴格數學框架的一部分而得到發展.^[1] 約翰·馮·諾伊曼^[2]以及Marshall Stone（英語：Marshall Harvey Stone）^[3]爲理論發展的主要貢獻者。馮·諾伊曼在1936年利用圖對無界算符進行分析.^[4]

定義與基本性質

令 B₁ 與 B₂ 為巴拿赫空間. 無界算子 (或簡稱為算子) T : B₁ → B₂是一個線性映射 T，從B₁ 的線性子空間D(T) （T的定義域）映射到空間 B₂.^[5] 不同於慣例, T 可能不定義在整個空間B₁.

如果函數圖 Γ(T) 為一個閉集，算子T被稱為閉算子.^[6] （這裏，圖 Γ(T) 是直和B₁ ⊕ B₂的一個線性子空間，定義為所以對(x, Tx)的集合, x定義在T上）. 這意味着，對所有來自域T的點列(x_n)，x_n收斂到x， Tx_n 收斂到y, x在域T上成立，且 Tx = y.^[6] 有界性可以通過圖模描述: 算符 T 是有界的，若且唯若它的定義域 D(T) 是關於下面的模的完備空間:^[7]

\|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}\ .

如果在B₁上定義域稠密，算子 T被稠密定義。這同樣包括定義在整個 B₁ 上的算子, 因為整個空間本身稠密。定義域的稠密是轉置與伴隨函數存在的充分必要條件。

若T : B₁ → B₂為閉集, 在它的定義域上稠密且連續, 則它定義在B₁上.^[8]

如果 T + a 是實數 a的正算符，希爾伯特空間 H 上稠密定義的算符 T被稱作下有界. 即,對所有T域上的x來說，⟨Tx|x⟩ ≥ −a·||x||² .^[9] 如果 T 與 (–T) 都是下有界的，T有界.^[9]

參考資料

Berezansky, Y.M.; Sheftel, Z.G.; Us, G.F., Functional analysis II, Birkhäuser, 1996 (see Chapter 12 "General theory of unbounded operators in Hilbert spaces").
Brezis, Haïm, Analyse fonctionnelle — Théorie et applications, Paris: Mason, 1983 （法語）
Hazewinkel, Michiel (編), Unbounded operator, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Hall, B.C., Chapter 9. Unbounded Self-adjoint Operators, Quantum Theory for Mathematicians, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 2013
Kato, Tosio, Chapter 5. Operators in Hilbert Space, Perturbation theory for linear operators, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, 1995, ISBN 3-540-58661-X
Pedersen, Gert K., Analysis now, Springer, 1989 (see Chapter 5 "Unbounded operators").
Reed, Michael; Simon, Barry, Methods of Modern Mathematical Physics, 1: Functional Analysis revised and enlarged, Academic Press, 1980 (see Chapter 8 "Unbounded operators").
Yoshida, Kôsaku, Functional Analysis sixth, Springer, 1980

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^ Reed & Simon 1980，Notes to Chapter VIII, page 305
^ von Neumann, J., Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (General Eigenvalue Theory of Hermitian Functional Operators), Mathematische Annalen, 1930, 102 (1): 49–131, doi:10.1007/BF01782338
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^ von Neumann, J., Über Adjungierte Funktionaloperatore (On Adjoint Functional Operators), Annals of Mathematics, Second Series, 1936, 33 (2): 294–310, JSTOR 1968331, doi:10.2307/1968331
^ Pedersen 1989，5.1.1
^ ^6.0 ^6.1 Pedersen 1989，5.1.4
^ Berezansky, Sheftel & Us 1996，page 5
^ Suppose f_j is a sequence in the domain of T that converges to g ∈ B₁. Since T is uniformly continuous on its domain, Tf_j is Cauchy in B₂. Thus, (f_j, Tf_j) is Cauchy and so converges to some (f, Tf) since the graph of T is closed. Hence, f = g, and the domain of T is closed.
^ ^9.0 ^9.1 引用錯誤：沒有為名為Pedersen-5.1.12的參考文獻提供內容

[1] Reed & Simon 1980，Notes to Chapter VIII, page 305

[2] von Neumann, J., Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (General Eigenvalue Theory of Hermitian Functional Operators), Mathematische Annalen, 1930, 102 (1): 49–131, doi:10.1007/BF01782338

[Stone1932-3] Stone, Marshall Harvey. Linear Transformations in Hilbert Space and Their Applications to Analysis. Reprint of the 1932 Ed. American Mathematical Society. 1932 [2014-03-29]. ISBN 978-0-8218-7452-3. （原始內容存檔於2014-06-29）.

[4] von Neumann, J., Über Adjungierte Funktionaloperatore (On Adjoint Functional Operators), Annals of Mathematics, Second Series, 1936, 33 (2): 294–310, JSTOR 1968331, doi:10.2307/1968331

[Pedersen-5.1.1-5] Pedersen 1989，5.1.1

[Pedersen-5.1.4-6] 6.0 ^6.1 Pedersen 1989，5.1.4

[BSU-5-7] Berezansky, Sheftel & Us 1996，page 5

[8] Suppose f_j is a sequence in the domain of T that converges to g ∈ B₁. Since T is uniformly continuous on its domain, Tf_j is Cauchy in B₂. Thus, (f_j, Tf_j) is Cauchy and so converges to some (f, Tf) since the graph of T is closed. Hence, f = g, and the domain of T is closed.

[Pedersen-5.1.12-9] 9.0 ^9.1 引用錯誤：沒有為名為Pedersen-5.1.12的參考文獻提供內容

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