曲線的微分幾何

几何学分支

曲線的微分幾何幾何學的一個分支,使用微分積分專門研究平面歐幾里得空間中的光滑曲線

從古代開始,許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式:把曲線表示為參數形式,將它們的幾何性質和各種量,比如曲率弧長,用向量分析表示為導數積分。分析曲線最重要的工具之一為 Frenet 標架,是一個活動標架,在曲線每一點附近給出「最合適」的坐標系。

曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多,也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長(「自然參數」)參數化,從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息,所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上,這由微分幾何不變量曲線的「曲率」和「撓率」來衡量。曲線基本定理斷言這些不變量的信息完全確定了曲線。

定義

  是一個正整數,  是正整數或    是實數非空區間,  屬於  。一個  類(即   連續可微向量值函數

 

稱為一條   類參數曲線或曲線   的一個   參數化,  稱為曲線   的參數,  稱為曲線的。將參數曲線   和它的像   區別開來是非常重要的,因為一個給定的 的子集可以是許多不同的參數曲線的像。

可以想像參數   代表時間,而曲線   作為空間中一個運動粒子軌跡

如果 I 是閉區間 [a, b],我們稱 γ(a) 為曲線 γ 的起點而 γ(b) 為終點

如果  ,我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步,我們稱 γ 是一條閉 Cr-曲線,如果 γ(k)(a) = γ(k)(b) 對所有 kr

如果  單射,我們稱為簡單曲線。

如果參數曲線   局部可寫成冪級數,我們稱曲線解析或是   類。

記號 -  表示朝相反的方向運動的曲線。

一條  -曲線

 

稱為   階正則若且唯若對任何   屬於 

 

 線性無關

特別地,一條  -曲線  正則的如果

  對任何  

重新參數化與等價關係

給定一條曲線的像我們可以定義曲線的許多不同的參數化。微分幾何旨在描述在一定的參數化下不變的性質。所以我們需在所有參數曲線集合上定義一種合適的等價關係。曲線的微分幾何性質(長度,Frenet 標架和廣義曲率)在重新參數化下不變從而滿足等價類性質。這個等價類稱為 Cr 曲線,是曲線的微分幾何研究的中心。

兩個 Cr 參數曲線

 

 

要稱為等價,就要存在一個 Cr 雙射

 

使得

 

 

γ2 稱為 γ1重新參數化。這種 γ1 的重新參數化在所有參數 Cr 曲線的集合上定義了一種等價關係,其等價類稱為 Cr 曲線

定向 Cr 曲線,我們可以定義一種「加細」的等價關係,要求 φ 滿足 φ'(t) > 0。

等價的 Cr 曲線有相同的像;等價的定向 Cr 曲線有相同的運動方向。

長度與自然參數化

C1 曲線 γ : [a, b] → Rn 的長度 l 可以定義為

 

曲線的長度在重參數化下保持不變,從而是曲線的一個微分幾何性質。

對任何正則 Crr 至少為 1)曲線 γ: [a, b] → Rn 我們可以定義一個函數

 

寫成

 

這裏 t(s) 是 s(t) 的逆函數,我們得到 γ 的一個新參數化  ,稱為自然弧長單位速度參數化;參數 s(t) 稱為 γ 的自然參數

我們偏愛這個參數,因為自然參數 s(t) 以單位速度轉動 γ 的像,所以

 

在實際中常常很難計算出一條曲線的自然參數,但在理論討論中很有用。

給定一條參數化曲線 γ(t) 的自然參數化是在差一個參數移動的意義下是惟一的。

數量

 

經常稱為曲線的能量作用量;這個名稱是有理由的,因為測地線方程是這個作用量的歐拉-拉格朗日運動方程。

Frenet 標架

 
空間曲線一點的 Frenet 標架示意圖。 T 是單位切向量,P 為單位法向量,B 是次法向量。

一個 Frenet 標架是一個移動的參考標架,由描述曲線在每一點 γ(t) 局部性質的n正交向量 ei(t) 組成。這是微分幾何處理曲線的主要工具,因為在這個局部參考系中,遠比使用歐幾里得那樣的整體坐標系更容易和自然地描述局部性質(如曲率、撓率)。

給定 Rn 中一條 n 階正則 Cn+1-曲線 γ,曲線的 Frenet 標架是一組正交向量

 

稱為 Frenet 向量。它們是通過對 γ(t) 的各階導數使用格拉姆-施密特正交化算法得到的:

 
 

實值函數 χi(t) 稱為 廣義曲率,定義為

 

Frenet 標架和廣義曲率在重新參數化下是不變的,故它們是曲線的微分幾何性質。

特殊 Frenet 向量和廣義曲率

最初三個 Frenet 向量和廣義曲率可以在三維空間中看到。它們有額外的名字以及與名稱相關更多信息。

切向量

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡,那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示,稱為曲線在 P切向量

數學表述為,給定一條曲線 γ = γ(t),對參數 t 的任何值: t = t0, 向量:

 

是點 P = γ(t0) 的切向量。一般說,切向量可以為零向量

切向量的長度:

 

是在時間 t0 的速率。


第一個 Frenet 向量 e1(t) 是在同一方向的單位切向量,在 γ 的每個正則點有定義:

 

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長,從而公式化簡為:

 

單位切向量確定了曲線的定向,或隨着參數增長的前進方向。

法向量

法向量,有時也稱為曲率向量,表明曲線和一條直線的偏離程度。

法向量定義為

 

其正規形式單位法向量,是 Frenet 向量 e2(t),定義為

 

t 點的切向量和法向量張成 t 點的密切平面

曲率

第一個廣義曲率 χ1(t) 稱為曲率,度量了曲線 γ 偏離密切平面上一條直線的程度。定義為

 

稱為 γ 在點 t曲率

曲率的倒數

 

稱為曲率半徑

半徑為 r 的圓周有常曲率

 

但一條直線的曲率是 0 。

次法向量

次法向量是第三個 Frenet 向量 e3(t) , 總是正交於 t 點的單位切向量和單位法向量。其定義為

 

在 3 維空間中等式簡化為

 

撓率

第二廣義曲率 χ2(t) 稱為撓率,度量了 γ 和一條平面曲線的偏離程度。或者說,如果撓率為 0 則曲線完全在某平面內(任何 t 都在這一個平面內)。

 

稱為 γ 在點 t撓率

曲線論主要定理

給定 n 個函數

 

滿足

 

那麼存在惟一的(在差一個歐幾里得群作用的意義下) n 階正則 Cn+1-曲線 γ,具有如下性質

 
 

這裏集合

 

是曲面的 Frenet 標架。

再附加起始 t0I,起始點 p0Rn 以及一個初始正交標架 {e1, ..., en-1} 滿足

 
 

那麼我們可以排除歐幾里得作用得到惟一的曲線 γ。

Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一組一階常微分方程。其解為由廣義曲率函數 χi 所刻畫的曲線的 Frenet 向量組。

2-維

 

3-維

 

n 維一般公式

 

參考文獻

  • Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
  • 陳維桓,微分幾何,北京大學出版社,北京,2006年,ISBN 7-301-10709.

另見