曼德博集合

曼德博集合(英語:Mandelbrot set,或譯為曼德布洛特複數集合)是一種在複數平面上組成分形的點的集合,以數學家本華·曼德博的名字命名。曼德博集合與朱利亞集合有些相似的地方,例如使用相同的複二次多項式來進行疊代

如果c點屬於曼德博集合M則為黑色,反之為白色

定義

曼德博集合可以用複二次多項式來定義:

 

其中   是一個複數參數。

  開始對   進行疊代

 
 
 
 

每次疊代的值依序如以下序列所示:

 

不同的參數   可能使序列絕對值逐漸發散到無限大,也可能收斂在有限的區域內。

曼德博集合   就是使序列不延伸至無限大的所有複數  集合

特性

  • 自相似
  • 面積為1.5065918561[1][2]

相關的定理

定理一

 ,則  

證明:

假設   為真

 

第一步:

 

 

因為  

 

由以上可得知  

第二步:

假設   成立

 

由上式可得知  

由數學歸納法可得知對於所有的n(n=1,2,...),  皆比   小。

當n趨近無限大時   依然沒有發散,所以  ,故得證。


定理二

 ,則  

證明:

假設  

 

第一步:

 

 

 ,左右同乘   再減去   可得到下式

 

由以上可得知  

第二步:

假設   成立,則  

 

因為  

 

 ,左右同乘   再減去   可得到下式

 

由以上可得知  

由數學歸納法可得知  ,可看出隨着疊代次數增加   逐漸遞增並發散。

假如 不發散,則收斂於某個常數 ,

  再取極限得   

 ,矛盾,故 發散。


所以若  ,則  ,故得證。

定理三

 ,則  

證明:

要證明若  ,則  

首先分別探討    兩種情形

由定理二可知道    時,  

接着要證明   時的情況:

假設  ,因為   ,所以   ,而

 

因為  

 

 ,左右同乘   再減去   可得到下式

 

由以上可得知  

由數學歸納法可得知  ,可看出隨着疊代次數增加   逐漸遞增並發散。

所以在    的情況下也是  

綜合上述可得知不論  為多少

 ,則  ,故得證。

利用定理三可以在程式計算時快速地判斷  是否會發散。

計算的方法

曼德博集合一般用電腦程式計算。對於大多數的分形軟件,例如Ultra fractal,內部已經有了比較成熟的例子。下面的程序是一段偽代碼,表達了曼德博集合的計算思路。

For Each c in Complex
 repeats = 0
 z = 0
 Do
  z = z^2 + c
  repeats = repeats + 1
 Loop until abs(z) > EscapeRadius or repeats > MaxRepeats '根据定理三,EscapeRadius可设置为2。
 If repeats > MaxRepeats Then
  Draw c,Black                                            '如果迭代次数超过MaxRepeats,就将c认定为属于曼德博集合,并设置为黑色。
 Else
  Draw c,color(z,c,repeats)                               'color函数用来决定颜色。
 End If
Next

決定顏色的一些方法

  1. 直接利用循環終止時的Repeats
  2. 綜合利用z和Repeats
  3. Orbit Traps


mand = Compile[{{z0, _Complex}, {nmax, _Integer}}, 
   Module[{z = z0, i = 1}, 
    While[i < nmax && Abs[z] <= 2, z = z^2 + z0; i++]; i]];
ArrayPlot[
 Reverse@Transpose@
   Table[mand[x + y I, 500], {x, -2, 2, 0.01}, {y, -2, 2, 0.01}]]

各種圖示

動畫
 
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參考資料

  1. ^ Mrob.com pixel counting. [2012-01-01]. (原始內容存檔於2019-08-10). 
  2. ^ Mrob.com area history. [2012-04-29]. (原始內容存檔於2020-09-22).