有效數字

有效數字（significant figures，significant digits，簡寫 sig figs），其代表一個數是由若干位數字組成，其中影響其測量精度的數字被稱作有效數字，也稱有效數位。

有效數字是科學計算中用以表示一定長度浮點數精度的那些數字，一般指一個用小數形式表示的浮點數中，從第一個非零的數字算起的所有數字；例如：1.24和0.00124的有效數字都有3位。並且在取有效數字時一般會遵循四捨五入的進位規則。例如取1.23456789為三位有效數字後的數值將會是1.23，而取四位有效數字後的數值將會是1.235。

辨別有效數字

簡單的規則如下：

• 所有非零數字都是有效的；
• 非零數字間的零都是有效的；
• 前綴零始終無效；
• 對於需要小數點的數，後綴零（最後一個非零數字後的零）是有效的；
• 對於不需要小數點的數，後綴零可能有效也可能無效。需要根據額外的符號或者誤差訊息決定。

所有非零數字都有效。例如 91 有兩位有效數字（9 和 1），而 123.45 有五位有效數字（1、2、3、4、5）。

兩個非零數字之間的零都有效。例如 101.1203 有七位有效數字（1、0、1、1、2、0、3）。

開頭的零始終無效。例如 0.00052 只有兩位有效數字（5 和 2）。

包含小數點的數中，結尾的零是有效的。例如 12.2300 有六位有效數字（1、2、2、3、0、0），而 0.000122300 也只有六位有效數字（1 前面的 0 都無效），120.00 則有五位。這一規則是因為小數里結尾的零可以明確精度。例如在精確到小數點後四位（0.0001）進行度量時，如果僅給出 12.23 的結果，可能會被誤解為測量時只精確到小數點後兩位，而給出 12.2300 的結果，則可以明確有小數點後四位的精度（例子中的結果有六位有效數字）。

針對不包含小數點的數，結尾的零是否是有效數字可以有不同的理解。例如僅給出 1300，我們無法得知它是精確到了最小單位（只是恰巧是 100 的倍數），還是在百位或者十位做了捨入。有很多做法可以消除歧義：

• 在最後一個有效數字上劃線。被標記的數字之後，所有結尾的零都不是有效數字。例如 $13{\overline {0}}0$ 表示有三位有效數字，精確到十位；
• 類似的也有加下劃線的做法，比如 $2{\underline {0}}00$ 表示有兩位有效數字，精確到百位；
• 如果在數字後面加上小數點，可以表示精確到個位。例如 100. 就有三位有效數字；
• 數字與計量單位結合時，可以通過選擇不同的前綴避免歧義。例如表示質量時，1300克的精度是有歧義的，而換成1.3千克則無歧義，有兩位有效數字。

不過很多時候人們並不使用這些消歧義的做法，後綴的零是否屬於有效數字只能從上下文分辨。需要時也可以直接標明有效數字位數，比如可以寫「20000（兩位有效數字）」。

科學記數法

大多數情況下，使用科學記數法的數也可以使用上述規則判別有效數字。不過正規化形式的科學記數法沒有前綴和後綴的零，所有數字都是有效的。比如 0.00012（兩位有效數字）會被記作 $1.2\times 10^{-4}$，0.00122300（六位有效數字）會被記作 $1.22300\times 10^{-3}$。後綴零都是有效的，沒有歧義。例如 1300 在有四位有效數字時，會被記作 $1.300\times 10^{3}$，而如果只有兩位有效數字，則會被記作 $1.3\times 10^{3}$。

因此，科學記數法中，尾數也被稱作有效數。

修約與位數

有效數字的概念通常和修約一起使用。按照有效數字的位數修約比按照數字本身的位數修約通用，因為對於不同尺度的數字可以有相同的處理。例如，城市的人口數可以是精確到千位的 52000，而國家的人口數則會是精確到百萬的 52000000。前者可以有幾百的誤差，後者則可以有幾十萬的誤差，而它們都只有兩位有效數字（5 和 2）。也就是說，即便兩者在數量級上相差巨大，但兩者誤差的有效性相同（誤差與數據本身的比）。

可以用「保留 n 位有效數字」來描述按照有效數字的修約，做法如下：

• 首先找出從第一個非零數字開始的 n 個連續的數字，認為只有這些數字才是有效數字。
• 如果最後一個有效數字後面緊跟的數字大於 5，或者緊跟着 5 但後面還有其它非零數字，那麼將最後一個有效數字加 1。例如 1.2459 保留三位有效數字後為 1.25。
• 如果最後一個有效數字後面緊跟着數字 5，而且後面沒有其它數字或者都是 0，修約時需要採用某種特定的規則。例如 1.25 保留兩位有效數字：
  • 中值取高斯再加一（即「四捨五入」）後結果是 1.3。如果沒有特別說明，很多時候都使用這種方法。
  • 中值取最靠近的偶數（即「四捨六入五成雙」）後的結果是 1.2。
• 將小數點前的所有非有效數字替換為 0。
• 將小數點後的所有非有效數字刪除（不能替換為 0）。

運算

• 加法運算，當對測量值進行加減運算時，應先完成計算，然後對答案四捨五入，看精確到小數點後的位數（以位數少的為準）；

• 減法運算，則為先調整各數的有效位數使與減數中有效位數最小者相同，再進行減法運算。

例：3.86 m + 2.4 m = 6.3 m

• 乘除運算，應先對測量值進行計算後，把答案四捨五入到和測量值的最小精度值相同的有效數字位數；

例：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L

• 取對數（不管是常用對數還是自然對數，即不管對數的底數為何），按照有效數字的個數來確定小數點後的位數（位數等於個數）；

• 取指數，按照小數點後的位數來確定有效數字的個數（個數等於位數）；

• 科學常數和整數可以取任意位有效數字。

近似值

令$x$是某個數量的真值，${\tilde {x}}$是$x$的近似值；$x$與${\tilde {x}}$都用十進制表示。有效數字就是指$x$與${\tilde {x}}$的多少位數字是一致的。確切地說，${\tilde {x}}$有$x$的m位有效數字，則從$x$的左端非零數字所在位起，絕對誤差|${\tilde {x}}-x$|的前m個十進制數位為0，隨後一位數字取值從0到5. 例如：

• 5.1對真值5具有1位有效數字：|5.1-5|=0.1
• 0.51對真值0.5具有1位，而不是2位有效數字：|0.51-0.5|=0.01
• 4.995對真值5具有3位有效數字:|4.995-5|=0.005
• 4.994對真值5具有2位有效數字:|4.994-5|=0.006
• 1.4對真值2具有0位有效數字：|1.4-2|=0.6

如果$x$用科學記數法表示為 $x=\Box .\Box \Box \ldots \Box \times 10^{n}$， 則${\tilde {x}}$有$x$的m位有效數字，如果$|x-{\tilde {x}}|\leq 5\times 10^{n-m}$。 ${\tilde {x}}$有$x$的m位有效數字，則二者相對誤差不超過$5\times 10^{-m}$。

外部連結

• Significant Figures Calculator （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） （英文）
• 有效數字的概念介紹 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 有效數字