極值定理

微積分中,極值定理(或最值定理[1]:84)說明如果實函數f閉區間[a,b]上是連續函數,則它一定取得最大值最小值,至少一次。也就是說,存在[a,b]內的cd,使得:

閉區間[a,b]上的連續函數ƒ(x),其最大值為紅色點,最小值為藍色點。
對於所有

一個相關的定理是有界性定理,它說明閉區間[a,b]內的連續函數f在該區間上有界。也就是說,存在實數mM,使得:

對於所有

極值定理強化了有界性定理,它表明函數不僅是有界的,而且它的最小上界就是最大值,最大下界就是最小值。

定理的證明

我們來證明f上界和存在最大值。把這個結果應用於函數–f,也可推出f 的下界和存在最小值。

我們首先證明有界性定理,它是證明極值定理中的一個步驟。

有界性定理的證明

假設函數f在區間[a,b]內連續且沒有上界,那麼對於每一個自然數n,都存在[a,b]內的一個xn,使得f(xn) > n(任定的,總之條件為真即可)。這便定義了一個序列{xn}。

由於[a,b]是有界的,根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理,可推出存在{xn}的一個收斂的子序列 。把它的極限記為x。由於[a,b]是閉區間,它一定含有x。因為fx處連續,我們知道 收斂於實數f(x)。

但對於所有的k,都有 ,這意味着 發散於無窮大

前者描述為收斂,後者描述為無窮大,得出矛盾。因此,f在[a,b]內有上界。同理f在[a,b]內有下界。證畢。

極值定理的證明1

基本步驟為:

  1. 尋找一個序列,它的收斂於f最小上界
  2. 證明存在一個子序列,它收斂於定義域內的一個點。
  3. 用連續性來證明子序列的像收斂於最小上界。

我們現在證明函數f 在區間[a,b]內有最大值。根據有界性定理,f 有上界,因此,根據實數的戴德金完備性f 的最小上界M存在。我們需要尋找[a,b]內的一個d,使得M = f (d)。設n為一個自然數。由於M是最小上界,M – 1/n就不是 f 的上界。因此,存在[a,b]內的dn,使得M – 1/n < f (dn)。這便定義了一個序列{dn}。由於Mf 的一個上界,即便是對於所有的n,我們仍有M – 1/n < f (dn) ≤ M。因此,序列 收斂於M

根據波爾查諾-魏爾施特拉斯定理,可知存在一個子序列 ,它收斂於某個d,且由於[a,b]是閉區間, 。因為fd 處連續,所以序列 收斂於f (d)。但  的一個子序列,收斂於M,因此M = f (d)。所以,fd 處取得最小上界M。證畢。

極值定理的證明2

[2]Mf 在區間[a,b]上的最小上界,我們要證明存在 使得 。我們使用反證法:如若不然,對任意   ,所以,對任意的  。我們考慮正值的函數

 

因為分母不是零,這個函數是良定義的,並且是連續的。然而,由於Mf (x)的最小上界,所以存在  ,使得f (x)可以無限地接近M,從而g(x)是無界的。這和有界性定理矛盾。證畢。

注: 上面構造函數g(x)來證明最大值能在某個d取到的方法也在代數基本定理的基於Liouville定理的證明中出現。

例子

以下的例子說明了為什麼函數的定義域需要是閉的有界的

  1. 定義在[0,∞)的函數f(x) = x沒有上界。
  2. 定義在[0,∞)的函數f(x) = x/(1 + x)有界,但不取得最小上界1。
  3. 定義在(0,1]的函數f(x) = 1/x沒有上界。
  4. 定義在(0,1]的函數f(x) = 1 –x有界,但不取得最小上界1。

推廣到半連續函數

如果把f的連續性減弱為半連續,則有界性定理和極值定理的對應的一半仍然成立,且擴展的實數軸上的值–∞和+∞也可以允許為可能的值。更加精確地:

定理:如果函數f : [a,b] → [–∞,∞)是上半連續的,也就是說,對於[a,b]內的所有x,都有:

 

那麼f有上界,且取得最小上界。

證明:如果對於[a,b]內的所有x,都有f(x) = –∞,那麼最小上界也是–∞,於是定理成立。在任何其它情況下,只需把上面的證明稍加修改便可。在有界性定理的證明中,fx處的半連續性只意味着子序列 上極限有上界f(x) < ∞,但這已足以得到矛盾。在極值定理的證明中,fd處的半連續性意味着子序列 的上極限有上界f(d),但這已足以推出f(d) = M的結論。證畢。

把這個結果應用於−f,可得:

定理:如果函數f : [a,b] → (–∞,∞]是下半連續的,也就是說,對於[a,b]內的所有x,都有:

 

那麼f有下界,且取得最大下界

一個實函數是上半連續且下半連續的,若且唯若它是連續的。因此,從這兩個定理就可以推出有界性定理和極值定理。

參考文獻

  1. ^ 孫玉泉 文曉 薛玉梅 苑佳 楊義川. 工科数学分析 上. 北京: 北京航空航天大學出版社. 2019. ISBN 978-7-5124-3044-0. 
  2. ^ 存档副本 (PDF). [2022-10-16]. (原始內容存檔 (PDF)於2022-10-16). 

外部連結