橢球

標準方程

橢球在xyz-笛卡兒坐標系中的方程式：

{x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1

其中a和b是赤道半徑（沿着x和y軸），c是極半徑（沿着z軸）。這三個數都是固定的正實數，決定了橢球的形狀。

如果三個半徑都是相等的，那麼就是一個球；如果有兩個半徑是相等的，則是一個類球面。

$a=b=c\,\!$ ：球；
$a=b>c\,\!$ ：扁球面（類似盤狀）；
$a=b<c\,\!$ ：長球面（類似條狀）；
$a\neq b,b\neq c,c\neq a\!$ ：不等邊橢球（「三條邊都不相等」）。

點(a,0,0)、(0,b,0)和(0,0,c)都在曲面上。從原點到這三個點的線段，稱為橢球的半主軸。它們與橢圓的半長軸和半短軸相對應。

參數化

使用球坐標系，其中 ${\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!$ 是天頂角， ${\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!$ 是方位角，則橢球可以表示為以下的參數形式：

{\begin{aligned}x&=a\,\sin \theta \cos \varphi ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin \theta \sin \varphi ;\\z&=c\,\cos \theta ;\end{aligned}}\,\!

{\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!

以扁橢球的XZ截面為例，這裏的高度角是t，目標點是P，t不是點P的大地緯度，也不是它的地心緯度，由於此參數定義而被阿瑟·凱萊稱為「參數緯度」^[1] 。

使用地理坐標系，其中 $\beta \,\!$ 是一點的參數緯度， ${\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!$ 是該點的經度：

{\begin{aligned}x&=a\,\cos \beta \cos \lambda ;\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos \beta \sin \lambda ;\\z&=c\,\sin \beta ;\end{aligned}}\,\!

{\begin{matrix}-90^{\circ }\leq \beta \leq 90^{\circ };\quad -180^{\circ }\leq \lambda \leq 180^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!

（注意，當

\scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {90}^{\circ }}{\color {white}|}\,\!

時，也就是在極點時，這個參數不是一一對應的）

體積和表面積

體積

橢球的體積由以下公式給出：

{\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!

注意，當三個半徑都相等時，這個公式便化為球的體積；兩個半徑相等時，便化為扁球面或長球面的體積。

表面積

橢球的表面積由以下公式給出：

S=2\pi \left[c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}F\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}E\left(o\!\varepsilon ,{\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin ^{2}o\!\varepsilon }}\right)\right],\,\!

其中

o\!\varepsilon =\arccos {\frac {c}{a}}\;

（扁球面）或

\arccos {\frac {a}{c}}\;

（長球面），是角離心率；

F(x,k)\,\!

、

E(x,k)\,\!

是第一類和第二類不完全橢圓積分。

與球的表面積不同，橢球的表面積一般不能用初等函數來表示。

一個近似公式為：

S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{\frac {1}{p}}.\,\!

其中 $p\approx 1.6075\,$ 。這樣相對誤差最多為 $1.061\,$ %（Knud Thomsen公式）； $p={\frac {8}{5}}=1.6\,$ 的值對於接近於球的橢球較為適宜，其相對誤差最多為 $1.178\,$ %（David W. Cantrell公式）。

對於 $a=b\,$ 的情況，有一個精確的公式：

扁球面：

S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} \sin o\!\varepsilon }{\sin o\!\varepsilon }}\right);\,\!

長球面：

S=2\pi \!\left(a^{2}+c^{2}{\frac {o\!\varepsilon }{\tan o\!\varepsilon }}\right);\,\!

$c\,$ 比 $a\,$ 和 $b\,$ 都小很多時，表面積近似等於 $2\pi ab.\,\!$ 。

橢球與平面相交的橫截面

示意圖：一個三軸橢球和平行於XY平面的水平平面相交。

橢球與平面相交的橫截面為橢圓。如右圖所示，橢圓的兩個直徑 ${d_{2}}$ 與 ${d_{1}}$ 可表示為^[2]

${d_{1,2}^{2}}={{8(1-{z_{c}^{2} \over {\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i}}})} \over {\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}}}\pm {\sqrt {(\sum _{i=1}^{3}{\cos ^{2}p_{i} \over {r_{i}^{2}}})^{2}-4(\sum _{i=1}^{3}r_{i}^{2}\sin ^{2}p_{i})/r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}}}}$