現金流匹配

現金流匹配是一種套期保值過程，在該過程中，公司或個體將其現金流出（例如債務償還）與其在給定時間範圍內的現金流入相匹配。它是金融免疫策略的一個子集。現金流匹配在固定收益養老金項目中很重要。

用線性規劃求解

現金流匹配問題可使用線性規劃求解。先假設我們有$j=1,...,n$這$n$個債券，這些債券在$t=1,...,T$這$T$個周期中產生現金流，但是在每個周期中分別存在需要償還的負債$L_{1},...,L_{T}$需要償還。假設債券$j$的初始價格為$p_{j}$，在周期$t$中可獲得的現金流為$F_{tj}$。因此可以購買債券$x_{j}$在特定周期中獲得盈餘$s_{t}$，兩者均為非負數，因此存在下列限制式：

$${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}F_{1j}x_{j}-s_{1}&=L_{1}\\\sum _{j=1}^{n}F_{tj}x_{j}+s_{t-1}-s_{t}&=L_{t},\quad t=2,...,T\end{aligned}}$$

我們的目標是將購買債券的初始成本$p^{T}x$最小化，同時還要求每個周期中產生的收益不小於需要償還的負債。因此可以構建以下線性規劃問題：

$$\min _{x,s}\;p^{T}x,\quad {\text{s.t.}}\;Fx+Rs=L,\;x,s\geq 0$$

其中在$F\in \mathbb {R} ^{T\times n}$和$R\in \mathbb {R} ^{T\times T}$需要：

$$R_{t,t}=-1,\quad R_{t+1,t}=1$$

考慮到在購買債券時所涉及到的購買數量是離散的，因此可以使用混合整數線性規劃來構建此類問題。