示性函數 (凸分析)

在數學領域的凸分析中，集合的「示性函數」為凸函數，用於表示給定元素是否為該集合的成員（或非成員）。儘管與常規示性函數定義相似，兩者也可以相互轉換，但根據如下定義的示性函數更適應於凸分析的方法。

定義

假設 $A$ 為集合 $X$ 的子集。 $A$ 的 「示性函數」

$\chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$

在擴展實數線上的值定義為

$\chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\not \in A.\end{cases}}$

與指示函數的關係

令 $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ 為一般指示函數：

$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A;\\0,&x\not \in A.\end{cases}}$

若採用如下約定

• 對於任意$a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$， $a+(+\infty )=+\infty$ 以及 $a(+\infty )=+\infty$；
• ${\frac {1}{0}}=+\infty$；且
• ${\frac {1}{+\infty }}=0$；

那麼，指示函數與示性函數滿足如下關係

$\mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}$

同時，

$\chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right).$

參考文獻

• Rockafellar, R. T. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1997 [1970]. ISBN 978-0-691-01586-6.