累進可除數
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累進可除數(英語:Polydivisible number)是有以下特質的整數:首個位非零,而且由它首個位組成的數是的倍數。
例如345654:
而123456就非累進可除數,因為1234不是4的倍數。
累進可除數可以在不同的進位制中定義。本條目僅談論十進制中的情況。
背景
累進可除數是趣味數學上的一道名題的一般化:
- 用1至9排列成一個數,使其首2個位能被2除盡,首3個位能被3除盡,如此類推,整個數是9的倍數。
雖然9位的累進可除數有2492個,但唯一一個包含1至9的數字而不重覆的只有一個,是381,654,729。
累進可除數的數目
若 是 位的累進可除數,若有 和 之間有數可以被 整除, 便可以擴充一個位,成為n位的累進可除數。若 ,必定可以由 位的累進可除數擴充成n位的累進可除數,且有多於一個可行的擴充辦法。反之,若 , 越大,能夠擴充成為另一個累進可除數的辦法隨之而越少。因此,將累進可除數的分佈畫成曲線圖,會得出一條鐘形曲線。
平均來說,每個 位的累進可除數擴充成n位的累進可除數有 種方法。這產生了以下這條用以估計n位的累進可除數數目的公式(以 表示 位累進可除數的數目):
將所有 之值加起來套入此式,就得出所有累進可除數的數目:
位數 | 估計值 | |
---|---|---|
1 | 9 | 9 |
2 | 45 | 45 |
3 | 150 | 150 |
4 | 375 | 375 |
5 | 750 | 750 |
6 | 1200 | 1250 |
7 | 1713 | 1786 |
8 | 2227 | 2232 |
9 | 2492 | 2480 |
10 | 2492 | 2480 |
11 | 2225 | 2255 |
12 | 2041 | 1879 |
13 | 1575 | 1445 |
14 | 1132 | 1032 |
15 | 770 | 688 |
16 | 571 | 430 |
17 | 335 | 253 |
18 | 180 | 141 |
19 | 90 | 74 |
20 | 44 | 37 |
21 | 18 | 17 |
22 | 12 | 8 |
23 | 6 | 3 |
24 | 3 | 1 |
25 | 1 | 1 |
最長的累進可除數有25位,等於360,852,885,036,840,078,603,672,5。