計算機代數

數學和計算機科學中，^[1]計算機代數或符號計算或代數計算，是研究、開發用於操作表達式等數學物件的算法與軟件的科學領域。這通常被視為是運算科學的一個子領域，但運算科學一般基於近似浮點數的數值計算，而符號計算則使用含變量的表達式進行精確計算，其中變量沒有賦值。執行符號計算的軟件系統稱為計算機代數系統，「系統」暗示了軟件的複雜性，其中至少包括一種在計算機中表示數學數據的方法、一種程式語言（通常異於用於實現的語言）、一種專門的內存管理器、一套供輸入輸出表達式的用戶界面、一大套用於通常運算的子程序，如表達式簡化、能實現連鎖律、多項式因式分解、不定積分等等的求導算法。

計算機代數被廣泛用於數學實驗、設計數值程序所用的公式。純數值方法失效時，計算機代數也可用於完整的科學計算，這見於公開密鑰加密和一些非線性問題。

術語

有些學者區分「計算機代數」（computer algebra）與「符號計算」（symbolic computation），後者指數學公式計算之外的符號計算。有人則用「符號計算」表示計算機科學方面的內容，而用「計算機代數」表示數學方面的內容。^[2]

科學界

目前還沒有計算機代數領域的專門學會，這一職能由計算機協會的特別興趣小組（special interest group）SIGSAM承擔。^[3]

計算機代數領域有多個年會，最重要的是由SIGSAM定期主辦的ISSAC（符號與代數計算國際研討會）。^[4]

有幾種專門研究計算機代數的期刊，其中最重要的一種是由Bruno Buchberger於1985年創辦的《符號計算》（Journal of Symbolic Computation）。^[5]其他一些期刊也定期發表計算機代數方面的文章。^[6]

計算機科學

數據表示

由於數值軟件在進行數值計算時的效率很高，因此在計算機代數中，通常用精確數據進行精確計算。這意味着即使輸出規模很小，計算過程的中間數據也可能不可預測地增長，這種行為稱為表達式膨脹（expression swell）。為解決這問題，數據表示和處理算法中有各種各樣的方法。

數字

數值計算最常用的數字系統是浮點數和大小固定的整數。由於表達式膨脹，這些系統都不便於計算機代數。^[7]

因此，計算機代數使用的基數是數學整數，通常用某個底數（一般是機器字允許的最大底數）的無界有符序列表示。從整數可以定義有理數。

為高效算術運算編程是一項艱巨的任務，因此大多數免費的計算機代數系統和商業系統，如Mathematica和Maple都使用GMP庫，它也因此成為事實上的標準。

表達式

(8 - 6) \times (3 + 1)

的LISP樹形式，來自1985年的一篇碩士論文。^[8]

除數字和變量外，每個表達式都可看做是跟着操作數序列的算符。在計算機代數軟件中，表達式通常都這樣表示，許多看似不是表達式的東西都可以這樣表示和操作，非常靈活。例如，方程是以「=」為算符的表達式，矩陣可表為以「矩陣」為算符、行為操作數的表達式。

連程序也可以看做是以「過程」為算符、含至少兩個操作數（參數列表與內容）的表達式，內容也是以「正文」為算符、以指令為操作數的表達式。反過來，表達式也可以看成程序： $a + b$ 可看做加法運算程序，參數是 $a$ 、 $b$ 。執行這個程序即對給定值的 $a$ 、 $b$ 表達式求值；若無給定值，則求值結果就是輸入。

這種「延遲求值」在計算機代數中是最基本的。例如，等式中的「=」也是等式檢驗程序的名稱：通常，等式求值結果仍是等式，但進行檢驗時，無論是用戶通過「求布林值」命令提出明確要求，還是系統在程序內部啟動的自動檢驗，都會執行求值為布林值的結果。

由於表達式操作數的規模無法預測，而且在過程中可能變化，因此操作數序列通常用指針序列（如Macsyma）或哈希表元素序列（如Maple）。

簡化

在表達式 $a^{x}$ 上直接應用關於 $x$ 的求導基本規則，可得

x\cdot a^{x-1}\cdot 0+a^{x}\cdot \left(1\cdot \log a+x\cdot {\frac {0}{a}}\right).

一般來說，我們需要比這更簡單的表達式，需要簡化。

這一般通過重寫邏輯完成。^[9]有幾類重寫邏輯值得考慮，最簡單的是總要縮減表達式，例如 $E - E \to 0$ 或 $sin(0) \to 0$ 。它們被系統地用於計算機代數系統。

加法、乘法這種有結合律的運算的混合會帶來困難。處理結合運算的標準方法是，考慮其操作數是任意的，即將 $a + b + c$ 表示為 $"+"(a, b, c)$ 。因此 $a + (b + c)$ 、 $(a + b) + c$ 都能簡化為 $"+"(a, b, c)$ ，展示為 $a + b + c$ 。對於 $a - b + c$ 這樣的表達式，最簡單的辦法是系統地將 $- E$ 、 $E - F$ 、 $E / F$ 分別改寫為 $(-1)\cdot E$ 、 $E + (-1)\cdot F$ $E \cdot F -1$ 。換句話說，表達式的內部表示中，數字的表示沒有減法、除法或一元負號。

加法和乘法的交換律也是一個難點。問題在於如何快速識別同類項。對很長的和或積來說，測試每對項的成本都很高。Macsyma排序了和與積的操作數，將同類項放在連續位置上，這樣就可以輕鬆檢測出來。Maple則使用了散列函數，輸入同類項時會產生碰撞，由此可以立即合併。這樣，計算中多次出現的子式就能被立即識別，並只儲存一次，這樣就避免了重複操作，從而節省內存並加快計算速度。

部分重寫規則有時會增加表達式的大小，有些會減小，例如分配律和三角恆等式。具體來說，分配律允許 $(x+1)^{4}\rightarrow x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+1$ 、 $(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)\rightarrow x^{5}-1$ 。這類重寫規則沒有很好的決策方式，一般交給用戶決定。實現分配的計算機函數通常叫做「展開」，反向則是「因式分解」，需要一種非平凡算法，因此是計算機代數系統的一個關鍵功能。

數學

在計算機中處理表達式時會出現一些基本數學問題。我們主要考慮多元有理函數，這不是嚴格的限制，因為表達式中出現的無理函數一旦被簡化，通常都會被視為新的不定項，例如

(\sin(x+y)^{2}+\log(z^{2}-5))^{3}

視為 $\sin(x+y)$ 和 $\log(z^{2}-5)$ 組成的多項式。

等式

對表達式而言，有兩種等價關係。語法相等指在計算機中的表示相等，這在程序中很容易測試；語義相等指兩個表達式表示相同的數學物件，如

(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.

由理查森定理可知，若表達式中允許指數或對數，便可能不存在算法可判斷代表數字的的兩式是否語義相等。因此，只能對多項式和有理函數等部分表達式進行（語義）等價測試。

要測試兩式是否登記愛，通常都不用特別設計算法，而是將表達式置於某個規範形中，或將差置於標準形中，再測試結果的語義等價。

在計算機代數中，「規範形」與「標準形」不是同義詞。^[10]「規範形」（canonical form）是指只有語法相等時才語義相等；「標準形」（normal form）是指只有語法上為0時，才在語義上為0.換句話說，0在標準形表達式中有唯一形式。

標準形是計算機代數的首選，有以下幾個原因。首先，規範形的計算成本可能更高。例如，求多項式規範形必須要展開每個積，而標準形不需要（下詳）。其次，與含根式的表達式類似，規範形（如果存在）取決於一些任意的選擇，對於獨立計算的兩式可能是不同的。這就使得規範形的使用變得不切實際。

歷史

計算機代數起源於約1970年，當人們首次將聞名已久的算法應用於計算機時發現其效率非常低。^[11]因此，研究者的主要工作是重新應用經典代數，以使其生效，並構造實現它們的高效算法。一個典型例子是計算多項式最大公因數，是簡化分式必須的。令人驚訝的是，經典的輾轉相除法對無窮域上的多項式效率很低，因此需要開發新的算法。線性代數的經典算法也如此。

另見

參考文獻

^ ACM Association in computer algebra. [2023-09-16]. （原始內容存檔於2023-07-30）.
^ Watt, Stephen M. Making Computer Algebra More Symbolic (Invited) (PDF). Transgressive Computing 2006: A conference in honor of Jean Della Dora, (TC 2006): 43–49. 2006 [2023-09-16]. ISBN 9788468983813. OCLC 496720771. （原始內容存檔 (PDF)於2022-05-26）.
^ SIGSAM official site. [2023-09-16]. （原始內容存檔於2023-08-16）.
^ SIGSAM list of conferences. [2012-11-15]. （原始內容存檔於2013-08-08）.
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^ SIGSAM list of journals. [2023-09-16]. （原始內容存檔於2013-09-28）.
^ Richard Liska Expression swell （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, from "Peculiarities of programming in computer algebra systems"
^ Cassidy, Kevin G. The Feasibility of Automatic Storage Reclamation with Concurrent Program Execution in a LISP Environment (PDF) (學位論文). Naval Postgraduate School, Monterey/CA: 15. Dec 1985. ADA165184.
^ Buchberger, Bruno; Loos, Rüdiger. Algebraic simplification (PDF). Buchberger, Bruno; Collins, George Edwin; Loos, Rüdiger; Albrecht, Rudolf (編). Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation. Computing Supplementa 4. 1983: 11–43 [2023-09-16]. ISBN 978-3-211-81776-6. doi:10.1007/978-3-7091-7551-4_2. （原始內容存檔 (PDF)於2022-01-20）.
^ Davenport, J. H.; Siret, Y.; Tournier, É. Computer Algebra: Systems and Algorithms for Algebraic Computation. Academic. 1988. ISBN 0-12-204230-1. OCLC 802584470.
^ Kaltofen, Erich. Factorization of polynomials. Buchberger, Bruno; Collins, George Edwin; Loos, Rüdiger; Albrecht, Rudolf (編). Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation. Computing Supplementa 4. 1983: 95–113. ISBN 978-3-211-81776-6. S2CID 18352153. doi:10.1007/978-3-7091-7551-4_8.

閱讀更多

For a detailed definition of the subject:

Buchberger, Bruno. Symbolic Computation (An Editorial) (PDF). Journal of Symbolic Computation. 1985, 1 (1): 1–6 [2023-09-16]. doi:10.1016/S0747-7171(85)80025-0. （原始內容存檔 (PDF)於2023-08-31）.

For textbooks devoted to the subject:

Davenport, James H.; Siret, Yvon; Tournier, Èvelyne. Computer Algebra: Systems and Algorithms for Algebraic Computation. Translated from the French by A. Davenport and J. H. Davenport. Academic Press. 1988. ISBN 978-0-12-204230-0.
von zur Gathen, Joachim; Gerhard, Jürgen. Modern computer algebra 2nd. Cambridge University Press. 2003. ISBN 0-521-82646-2.
Geddes, K. O.; Czapor, S. R.; Labahn, G. Algorithms for Computer Algebra . 1992. Bibcode:1992afca.book.....G. ISBN 978-0-7923-9259-0. doi:10.1007/b102438.
Buchberger, Bruno; Collins, George Edwin; Loos, Rüdiger; Albrecht, Rudolf (編). Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation . Computing Supplementa 4. 1983. ISBN 978-3-211-81776-6. S2CID 5221892. doi:10.1007/978-3-7091-7551-4.

[1] ACM Association in computer algebra. [2023-09-16]. （原始內容存檔於2023-07-30）.

[2] Watt, Stephen M. Making Computer Algebra More Symbolic (Invited) (PDF). Transgressive Computing 2006: A conference in honor of Jean Della Dora, (TC 2006): 43–49. 2006 [2023-09-16]. ISBN 9788468983813. OCLC 496720771. （原始內容存檔 (PDF)於2022-05-26）.

[3] SIGSAM official site. [2023-09-16]. （原始內容存檔於2023-08-16）.

[4] SIGSAM list of conferences. [2012-11-15]. （原始內容存檔於2013-08-08）.

[5] Cohen, Joel S. Computer Algebra and Symbolic Computation: Mathematical Methods . AK Peters. 2003: 14. ISBN 978-1-56881-159-8.

[6] SIGSAM list of journals. [2023-09-16]. （原始內容存檔於2013-09-28）.

[7] Richard Liska Expression swell （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, from "Peculiarities of programming in computer algebra systems"

[8] Cassidy, Kevin G. The Feasibility of Automatic Storage Reclamation with Concurrent Program Execution in a LISP Environment (PDF) (學位論文). Naval Postgraduate School, Monterey/CA: 15. Dec 1985. ADA165184.

[9] Buchberger, Bruno; Loos, Rüdiger. Algebraic simplification (PDF). Buchberger, Bruno; Collins, George Edwin; Loos, Rüdiger; Albrecht, Rudolf (編). Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation. Computing Supplementa 4. 1983: 11–43 [2023-09-16]. ISBN 978-3-211-81776-6. doi:10.1007/978-3-7091-7551-4_2. （原始內容存檔 (PDF)於2022-01-20）.

[10] Davenport, J. H.; Siret, Y.; Tournier, É. Computer Algebra: Systems and Algorithms for Algebraic Computation. Academic. 1988. ISBN 0-12-204230-1. OCLC 802584470.

[11] Kaltofen, Erich. Factorization of polynomials. Buchberger, Bruno; Collins, George Edwin; Loos, Rüdiger; Albrecht, Rudolf (編). Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation. Computing Supplementa 4. 1983: 95–113. ISBN 978-3-211-81776-6. S2CID 18352153. doi:10.1007/978-3-7091-7551-4_8.

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